Упр.158 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\arccos\left(\frac{1+2x}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$$; б) $$\arctg(2x-1)=-\frac{\pi}{4}$$; в) $$\arcsin\left(\frac{x+2}{4}\right)=-\frac{\pi}{3}$$; г) $$\arctg(2-3x)=\frac{3\pi}{4}$$.

а) $$\arccos\frac{1+2x}{3}=\frac{2\pi}{3}$$

Тогда

$$\frac{1+2x}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12.$$

Отсюда

$$1+2x=-\frac32,$$

$$2x=-\frac52,$$

$$x=-\frac54.$$

Проверка области определения выполнена: $$-1\le \frac{1+2x}{3}\le 1.$$

б) $$\arctg(2x-1)=-\frac{\pi}{4}$$

Тогда

$$2x-1=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Следовательно,

$$2x=0,\qquad x=0.$$

в) $$\arcsin\frac{x+2}{4}=-\frac{\pi}{3}$$

Тогда

$$\frac{x+2}{4}=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x+2=-2\sqrt3,$$

$$x=-2-2\sqrt3=-2(\sqrt3+1).$$

Проверка области определения выполнена: $$-1\le \frac{x+2}{4}\le 1.$$

г) $$\arctg(2-3x)=\frac{3\pi}{4}$$

Но значение $$\arctg t$$ всегда принадлежит промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ а число $$\frac{3\pi}{4}$$ этому промежутку не принадлежит. Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ

а) $$x=-\frac54$$; б) $$x=0$$; в) $$x=-2(\sqrt3+1)$$; г) корней нет.