Упр.158 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. а) $$\sqrt{9+3^x-2}\geq 9-3^x$$; б) $$\sqrt{x}^{\log_2\sqrt{x}}>2$$; в) $$\log_2\left(\sqrt{x+3}-x-1\right)\geq 0$$; г) $$\sqrt{4^{x+1}+17}-5>2^x$$.

а) $$\sqrt{9+3^{x+2}}\ge 9-3^x.$$

Возведём обе части в квадрат. При этом правая часть должна быть неотрицательной:

$$9-3^x\le 0.$$

Тогда

$$9+3^{x+2}\ge (9-3^x)^2,$$

$$9+9\cdot 3^x\ge 81-18\cdot 3^x+3^{2x},$$

$$3^{2x}-27\cdot 3^x+72\le 0.$$

Обозначим $$t=3^x$$, тогда

$$t^2-27t+72\le 0,$$

$$D=27^2-4\cdot 72=441,$$

$$t_1=\frac{27-21}{2}=3,\qquad t_2=\frac{27+21}{2}=24.$$

Следовательно,

$$3\le 3^x\le 24.$$

С учётом условия $$9-3^x\le 0$$ получаем $$3^x\ge 9$$, то есть $$x\ge 1.$$

Ответ: $$[1;+\infty).$$

б) $$\sqrt{x^{\log_2\sqrt{x}}}>2.$$

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, имеем $$x>0.$$

Преобразуем:

$$\sqrt{x^{\log_2\sqrt{x}}}=x^{\frac12\log_2\sqrt{x}}=x^{\frac14\log_2 x}.$$

Тогда

$$x^{\frac14\log_2 x}>2.$$

Переходим к логарифму по основанию $$2$$:

$$\frac14(\log_2 x)^2>1,$$

$$(\log_2 x)^2>4,$$

$$|\log_2 x|>2.$$

Отсюда

$$\log_2 x<-2 \quad \text{или} \quad \log_2 x>2,$$

$$0<x<\frac14 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Ответ: $$\left(0;\frac14\right)\cup(4;+\infty).$$

в) $$\log_2(\sqrt{x+3}-x-1)\le 0.$$

Так как основание логарифма больше $$1$$, то

$$0<\sqrt{x+3}-x-1\le 1.$$

Рассмотрим систему:

$$\sqrt{x+3}-x-1>0,$$

$$\sqrt{x+3}-x-1\le 1.$$

Из второго неравенства:

$$\sqrt{x+3}\le x+2.$$

При этом необходимо $$x+2\ge 0$$, то есть $$x\ge -2.$$ Возводим в квадрат:

$$x+3\le (x+2)^2,$$

$$x^2+3x+1\ge 0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена:

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$

Тогда

$$x\le \frac{-3-\sqrt5}{2}\quad \text{или} \quad x\ge \frac{-3+\sqrt5}{2}.$$

Из первого неравенства:

$$\sqrt{x+3}>x+1.$$

Так как левая часть неотрицательна, нужно $$x+1<0$$, то есть $$x<-1.$$ Возводим в квадрат:

$$x+3>(x+1)^2,$$

$$x^2+x-2<0,$$

$$-2<x<1.$$

Пересечение условий даёт

$$\left[\frac{-3+\sqrt5}{2};\,1\right).$$

Ответ: $$\left[\frac{-3+\sqrt5}{2};\,1\right).$$

г) $$\sqrt{4^{x+1}+17}-5>2^x.$$

Перенесём число $$5$$ вправо:

$$\sqrt{4^{x+1}+17}>2^x+5.$$

Так как правая часть положительна, можно возвести в квадрат:

$$4^{x+1}+17>(2^x+5)^2.$$

Преобразуем:

$$4\cdot 4^x+17>2^{2x}+10\cdot 2^x+25,$$

$$4\cdot 2^{2x}+17&gt{?}$$

Удобнее положить $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^{x+1}=4\cdot 2^{2x}=4t^2.$$ Получаем:

$$\sqrt{4t^2+17}>t+5.$$

Возводим в квадрат:

$$4t^2+17>t^2+10t+25,$$

$$3t^2-10t-8>0.$$

Найдём корни:

$$D=100+96=196,$$

$$t_1=\frac{10-14}{6}=-\frac23,\qquad t_2=\frac{10+14}{6}=4.$$

Так как $$t>0$$, то

$$t>4.$$

Следовательно,

$$2^x>4,$$

$$x>2.$$

Ответ: $$(2;+\infty).$$