Упр.157 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) tg(3x)-tg(x)=0; б) tg(x)-sin(x)=2sin^2(x/2);
в) sin(x)tg(x)=cos(x)+tg(x); г) sin(x)+sin(2x)=tg(x).
а) $$\tg 3x-\tg x=0$$
$$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x}=0$$
$$\frac{\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x}{\cos x\cos 3x}=0$$
$$\sin(3x-x)=0$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$При этом нужно исключить значения, при которых не определены тангенсы: $$\cos x\ne 0,\ \cos 3x\ne 0.$$
Из найденных корней подходят только $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\tg x-\sin x=2\sin^2\frac{x}{2}$$
$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=1-\cos x$$
$$\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}=1-\cos x$$
$$\sin x(1-\cos x)=\cos x(1-\cos x)$$
$$(\sin x-\cos x)(1-\cos x)=0.$$Отсюда:
$$\sin x=\cos x,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\cos x=1,\quad x=2\pi n,$$
$$n\in\mathbb Z.$$в) $$\sin x\,\tg x=\cos x+\tg x$$
$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}$$
$$\sin^2 x=\cos^2 x+\sin x$$
$$\sin^2 x=1-\sin^2 x+\sin x$$
$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2-y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\quad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$Следовательно:
$$\sin x=1,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\sin x=-\frac12,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$n\in\mathbb Z.$$г) $$\sin x+\sin 2x=\tg x$$
$$\sin x+2\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
$$\sin x\cos x+2\sin x\cos^2 x=\sin x$$
$$\sin x\,(2\cos^2 x+\cos x-1)=0.$$Отсюда:
$$\sin x=0,\quad x=\pi n,$$
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$Значит,
$$\cos x=-1,\quad x=\pi+2\pi n,$$
$$\cos x=\frac12,\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=2\pi n,\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
