Упр.156 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2-2x+3 < v(4-x^2); б) v(3-x)-v(x+1) > 1/2.

а) Рассмотрим неравенство

$$x^2-2x+3<\sqrt{4-x^2}.$$

Правая часть определена при

$$4-x^2\ge 0,$$

то есть $$-2\le x\le 2.$$

При этом $$\sqrt{4-x^2}\le 2.$$

Левая часть — квадратный трёхчлен:

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2\ge 2.$$

Следовательно, левая часть не меньше $$2,$$ а правая часть не больше $$2.$$

Строгое неравенство $$x^2-2x+3<\sqrt{4-x^2}$$ невозможно.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12.$$

Область определения:

$$3-x\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$

откуда

$$-1\le x\le 3.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{3-x}>\sqrt{x+1}+\frac12.$$

Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

$$3-x>x+1+\sqrt{x+1}+\frac14.$$

Умножим на $$4$$:

$$12-4x>4x+4+4\sqrt{x+1}+1,$$

$$7-8x>4\sqrt{x+1}.$$

Правая часть неотрицательна, значит необходимо

$$7-8x>0,$$

то есть

$$x<\frac78.$$

Теперь возведём в квадрат:

$$\left(7-8x\right)^2>16(x+1).$$

$$49-112x+64x^2>16x+16,$$

$$64x^2-128x+33>0.$$

Найдём корни:

$$D=128^2-4\cdot 64\cdot 33=7936=256\cdot 31,$$

$$x=\frac{128\pm 16\sqrt{31}}{128}=1\pm \frac{\sqrt{31}}{8}.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то

$$64x^2-128x+33>0$$

при

$$x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}\quad \text{или}\quad x>1+\frac{\sqrt{31}}{8}.$$

С учётом области определения $$-1\le x\le 3$$ и условия $$x<\frac78$$ получаем

$$x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right).$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$\left[-1;\,1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right).$$