Упр.155 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$$;
   б) $$\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}\mathrel{?}1$$;
   в) $$4x^2+12x\sqrt{1+x}\mathrel{?}27(1+x)$$;
   г) $$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}<35-2x$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{1-3x-\sqrt{1-4x^2}}{x}\le 0.$$

Область определения:

$$1-4x^2\ge 0,\quad x\ne 0,$$

откуда

$$|x|\le \frac12,\quad x\ne 0.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x>0,$$ то нужно решить систему

$$1-3x-\sqrt{1-4x^2}\le 0,$$

$$x>0.$$

Из первого неравенства:

$$\sqrt{1-4x^2}\ge 1-3x.$$

После возведения в квадрат получаем

$$1-4x^2\ge (1-3x)^2,$$

$$13x^2-6x\le 0,$$

$$x(13x-6)\le 0.$$

С учётом $$x>0$$ имеем

$$0<x\le \frac{6}{13}.$$

Но ещё должно выполняться $$1-3x\le \sqrt{1-4x^2},$$ а при $$x>\frac13$$ правая часть неотрицательна, поэтому получаем

$$\frac13<x\le \frac12.$$

Если $$x<0,$$ то

$$1-3x-\sqrt{1-4x^2}\ge 0,$$

и с учётом области определения получаем

$$-\frac12\le x<0.$$

Итак,

$$x\in \left[-\frac12,0\right)\cup \left(0,\frac12\right].$$

б) Решим неравенство

$$\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}\ge 1.$$

Перенесём единицу влево:

$$\frac{\sqrt{x^2-1}+1-x}{x}\ge 0.$$

Область определения:

$$x^2-1\ge 0,\quad x\ne 0,$$

то есть

$$|x|\ge 1,\quad x\ne 0.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x>0,$$ то

$$\sqrt{x^2-1}+1-x\ge 0,$$

$$\sqrt{x^2-1}\ge x-1.$$

После возведения в квадрат:

$$x^2-1\ge (x-1)^2,$$

$$2x\ge 2,$$

$$x\ge 1.$$

Если $$x<0,$$ то

$$\sqrt{x^2-1}+1-x\le 0,$$

что невозможно при $$x<0,$$ так как левая часть неотрицательна. Значит, решений здесь нет.

Следовательно,

$$x\in [1;+\infty).$$

в) Решим неравенство

$$4x^2+12x\sqrt{1+x}\ge 27(1+x).$$

Положим

$$y=\frac{\sqrt{1+x}}{x},\quad x\ne 0.$$

Тогда

$$4+12y\le 27y^2,$$

$$27y^2-12y-4\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2+4\cdot 27\cdot 4=576,$$

$$y_1=\frac{12-24}{54}=-\frac29,\qquad y_2=\frac{12+24}{54}=\frac23.$$

Значит,

$$y\le -\frac29 \quad \text{или} \quad y\ge \frac23.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\dfrac{\sqrt{1+x}}{x}\le -\dfrac29.$$ Тогда $$x<0$$ и после преобразований получаем

$$81(1+x)\ge 4x^2,$$

$$4x^2-81x-81\le 0.$$

Корни:

$$x=\frac{81\pm 9\sqrt{97}}{8}.$$

С учётом $$x<0$$ получаем

$$x\in \left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};0\right).$$

2) $$\dfrac{\sqrt{1+x}}{x}\ge \dfrac23.$$ Тогда $$x>0$$ и

$$9(1+x)\ge 4x^2,$$

$$4x^2-9x-9\le 0.$$

Корни:

$$x=-\frac34,\quad x=3.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$x\in (0;3].$$

Объединяя, имеем

$$x\in \left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};3\right].$$

г) Решим неравенство

$$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}<35-2x.$$

Перенесём всё влево:

$$2x+2\sqrt{x^2+7x}+\sqrt{x}+\sqrt{x+7}<35.$$

Положим

$$y=\sqrt{x}+\sqrt{x+7}.$$

Тогда

$$y^2=2x+7+2\sqrt{x^2+7x},$$

и неравенство принимает вид

$$y^2+y<42,$$

$$y^2+y-42<0.$$

Корни:

$$y=-7,\quad y=6.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то

$$0\le y<6.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}<6.$$

Возведём в квадрат:

$$x+x+7+2\sqrt{x(x+7)}<36,$$

$$2\sqrt{x^2+7x}<29-2x.$$

Отсюда обязательно $$29-2x>0,$$ то есть $$x<\frac{29}{2}.$$ После возведения в квадрат:

$$4(x^2+7x)<(29-2x)^2,$$

$$4x^2+28x<841-116x+4x^2,$$

$$144x<841,$$

$$x<\frac{841}{144}.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем

$$x\in \left[0;\frac{841}{144}\right).$$

Ответ

а) $$\left[-\frac12,0\right)\cup \left(0,\frac12\right]$$; б) $$[1;+\infty)$$; в) $$\left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};3\right]$$; г) $$\left[0;\frac{841}{144}\right).$$