Упр.155 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для функции $$\cos x$$ используем значения на промежутке $$[0;2\pi]$$ и затем учитываем периодичность с периодом $$2\pi$$.

1. $$\cos x \ge -\frac{1}{2}$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это неравенство выполняется при

   $$x \in \left[-\frac{2\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right].$$

   С учётом периода:

   $$x \in \left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ получаем

   $$x \in \left(\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right).$$

   С учётом периода:

   $$x \in \left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это неравенство выполняется при

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$

   С учётом периода:

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. $$\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ получаем

   $$x \in \left(\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right).$$

   С учётом периода:

   $$x \in \left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x \in \left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z};$$
б) $$x \in \left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z};$$
в) $$x \in \left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z};$$
г) $$x \in \left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$