Упр.154 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x^2-3x+2) > 2x-5; б) v(3x-x^2) < 4-x; в) 3vx-v(x+3) > 1; г) x-v(1-|x|) < 0.

а) $$\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5.$$

Если $$2x-5<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых определён корень:

$$x^2-3x+2\ge 0,$$

$$ (x-1)(x-2)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1 \text{ или } x\ge 2.$$

При $$2x-5\ge 0$$ возводим обе части в квадрат:

$$x^2-3x+2>(2x-5)^2,$$

$$x^2-3x+2>4x^2-20x+25,$$

$$3x^2-17x+23<0.$$

Найдём корни:

$$D=17^2-4\cdot 3\cdot 23=13,$$

$$x_{1,2}=\frac{17\pm \sqrt{13}}{6}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$3x^2-17x+23<0 \;\Rightarrow\; \frac{17-\sqrt{13}}{6}<x<\frac{17+\sqrt{13}}{6}.$$

С учётом условия $$2x-5\ge 0$$ получаем

$$x\ge \frac52.$$

Итак,

$$x\in (-\infty;1]\cup \left[2;\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right).$$

б) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x.$$

Для существования корня нужно:

$$3x-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x(x-3)\le 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 3.$$

Кроме того, правая часть должна быть положительной:

$$4-x>0 \;\Rightarrow\; x<4.$$

На области определения $$0\le x\le 3$$ можно возвести обе части в квадрат:

$$3x-x^2<(4-x)^2,$$

$$3x-x^2<16-8x+x^2,$$

$$2x^2-11x+16>0.$$

Дискриминант:

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$

Так как $$a>0,$$ то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x.$$

Значит, остаётся только область определения:

$$x\in [0;3].$$

в) $$3\sqrt{x}-\sqrt{x+3}>1.$$

Перенесём корень вправо:

$$3\sqrt{x}>1+\sqrt{x+3}.$$

Возведём в квадрат:

$$9x>1+2\sqrt{x+3}+x+3,$$

$$2\sqrt{x+3}<8x-4,$$

$$\sqrt{x+3}<4x-2.$$

Теперь снова возведём в квадрат:

$$x+3<(4x-2)^2,$$

$$x+3<16x^2-16x+4,$$

$$16x^2-17x+1>0.$$

Найдём корни:

$$D=17^2-4\cdot 16\cdot 1=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{32},$$

$$x_1=\frac{1}{16},\quad x_2=1.$$

Тогда

$$16x^2-17x+1>0 \;\Rightarrow\; x<\frac{1}{16}\ \text{или}\ x>1.$$

С учётом области определения:

$$x\ge 0,\quad x+3\ge 0,\quad 4x-2>0 \Rightarrow x>\frac12.$$

Пересечение даёт

$$x\in (1;+\infty).$$

г) $$x-\sqrt{1-|x|}<0.$$

Перенесём корень:

$$x<\sqrt{1-|x|}.$$

Так как правая часть неотрицательна, то обязательно $$x<1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2<1-|x|,$$

$$x^2+|x|-1<0.$$

Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда

$$t^2+t-1<0.$$

Корни уравнения $$t^2+t-1=0$$:

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$

С учётом $$t\ge 0$$ получаем

$$0\le t<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$

Значит,

$$|x|<\frac{-1+\sqrt5}{2},$$

то есть

$$-\frac{-1+\sqrt5}{2}<x<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$

Итак,

$$x\in \left(-\frac{-1+\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;1]\cup \left[2;\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right);$$ б) $$[0;3];$$ в) $$(1;+\infty);$$ г) $$\left(-\frac{-1+\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$