Упр.154 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) cos(4x)+2cos^2(x)=1; б) 4(1+cos(x))=3sin^2(x/2)cos(x/2);
в) cos(3x)+sin(x)sin(2x)=0; г) 4(1-cos(x))=3sin(x/2)cos^2(x/2).

1. а) $$\cos 4x+2\cos^2 x=1$$

   $$\cos 4x=1-2\cos^2 x$$

   Так как $$1-2\cos^2 x=-\cos 2x,$$ получаем

   $$\cos 4x+\cos 2x=0.$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$2\cos 3x\cos x=0.$$

   Отсюда

   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   Тогда

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$4(1+\cos x)=3\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},$$

   тогда

   $$8\cos^2\frac{x}{2}=3\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$\cos\frac{x}{2}\left(8\cos\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}\right)=0.$$

   Если $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ то

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pi+2\pi n.$$

   Если $$8\cos\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}=0,$$ положим $$y=\cos\frac{x}{2}.$$ Тогда $$\sin^2\frac{x}{2}=1-y^2,$$ и получаем

   $$8y-3(1-y^2)=0,$$

   $$3y^2+8y-3=0.$$

   $$D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=100,$$

   $$y_1=\frac{-8-10}{6}=-3,\qquad y_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13.$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos\frac{x}{2}\in[-1,1].$$

   Остаётся

   $$\cos\frac{x}{2}=\frac13,$$

   откуда

   $$x=\pm 2\arccos\frac13+4\pi n.$$

3. в) $$\cos 3x+\sin x\sin 2x=0$$

   Используем формулу

   $$\sin x\sin 2x=\frac{\cos x-\cos 3x}{2}.$$

   Тогда

   $$\cos 3x+\frac{\cos x-\cos 3x}{2}=0,$$

   $$\cos 3x+\cos x=0.$$

   По формуле суммы косинусов:

   $$2\cos 2x\cos x=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$4(1-\cos x)=3\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}$$

   Так как $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2},$$ получаем

   $$8\sin^2\frac{x}{2}=3\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sin\frac{x}{2}\left(8\sin\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}\right)=0.$$

   Если $$\sin\frac{x}{2}=0,$$ то

   $$\frac{x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n.$$

   Если $$8\sin\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0,$$ положим $$y=\sin\frac{x}{2}.$$ Тогда $$\cos^2\frac{x}{2}=1-y^2,$$ и получаем

   $$8y-3(1-y^2)=0,$$

   $$3y^2+8y-3=0.$$

   $$D=100,$$

   $$y_1=-3,\qquad y_2=\frac13.$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит, поэтому

   $$\sin\frac{x}{2}=\frac13.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\cdot 2\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm 2\arccos\frac13+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=2\pi n,\ (-1)^n\cdot 2\arcsin\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$