Упр.153 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Для каждого действительного числа $$a$$ найдите все решения уравнения:
а) $$x+\sqrt{1-x^2}=a$$;
б) $$\sqrt{x^2-1}+x=a$$.
а) Рассмотрим уравнение
$$x+\sqrt{1-x^2}=a.$$
Перенесём корень в правую часть:
$$\sqrt{1-x^2}=a-x.$$
Возведём в квадрат:
$$1-x^2=a^2-2ax+x^2,$$
$$2x^2-2ax+a^2-1=0.$$
Найдём корни этого квадратного уравнения:
$$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-1)=8-4a^2=4(2-a^2),$$
$$x=\frac{2a\pm 2\sqrt{2-a^2}}{4}=\frac{a\pm \sqrt{2-a^2}}{2}.$$
Теперь учтём условие $$\sqrt{1-x^2}\ge 0,$$ то есть $$a-x\ge 0.$$
Для корня
$$x=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}$$
получаем решения при $$-1\le a<1.$$
Для корня
$$x=\frac{a+\sqrt{2-a^2}}{2}$$
получаем решения при $$1\le a<\sqrt{2}.$$
При $$a=\sqrt{2}$$ имеем единственное решение
$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Если $$a<-1$$ или $$a>\sqrt{2},$$ то корней нет.
б) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{x^2-1}+x=a.$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{x^2-1}=a-x.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2-1=a^2-2ax+x^2,$$
$$2ax=a^2+1,$$
$$x=\frac{a^2+1}{2a}.$$
Это возможно только при $$a\ne 0.$$ Кроме того, должно выполняться условие
$$a-x\ge 0.$$
Подставим найденное значение $$x$$:
$$a-\frac{a^2+1}{2a}\ge 0,$$
$$\frac{a^2-1}{a}\ge 0,$$
$$\frac{(a-1)(a+1)}{a}\ge 0.$$
Отсюда
$$-1\le a<0 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
При этих значениях $$a$$ уравнение имеет решение
$$x=\frac{a^2+1}{2a}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}$$ при $$-1\le a<1$$; $$x=\frac{a+\sqrt{2-a^2}}{2}$$ при $$1\le a<\sqrt{2}$$; $$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при $$a=\sqrt{2}$$; при $$a<-1$$ и $$a>\sqrt{2}$$ корней нет.
б) $$x=\frac{a^2+1}{2a}$$ при $$-1\le a<0$$ и $$a\ge 1$$; при остальных значениях $$a$$ корней нет.
