Упр.152 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\cos(x)+2\cos(2x)=1$$;
   б) $$4\sin(2x)-3\sin(2x-?/3)=5$$;
   в) $$2\cos^2(x)+4\cos(x)=3\sin^{(x)}$$;
   г) $$\cos^2(x)+4\sin^2(x)=2\sin(2x)$$.

Преобразуем каждое уравнение.

1. $$\cos x+2\cos 2x=1$$
   $$\cos x+2(2\cos^2 x-1)=1$$
   $$4\cos^2 x+\cos x-3=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$4y^2+y-3=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac34$$
   Значит,
   $$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac34$$
   Отсюда
   $$x=\pi+2\pi n,\quad x=\pm \arccos \frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$4\sin 2x-3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=5$$
   Так как
   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2x,$$
   получаем
   $$4\sin 2x+3\cos 2x=5$$
   $$8\sin x\cos x+3(\cos^2 x-\sin^2 x)=5(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$8\sin x\cos x+3\cos^2 x-3\sin^2 x=5\sin^2 x+5\cos^2 x$$
   $$8\sin^2 x-8\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
   $$4\sin^2 x-4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$\left(2\sin x-\cos x\right)^2=0$$
   $$2\sin x-\cos x=0$$
   $$\tan x=\frac12$$
   Следовательно,
   $$x=\arctan \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$2\cos^2 x+4\cos x=3\sin^2 x$$
   $$2\cos^2 x+4\cos x=3-3\cos^2 x$$
   $$5\cos^2 x+4\cos x-3=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$5y^2+4y-3=0$$
   $$D=16+60=76=4\cdot 19$$
   $$y=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{10}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{5}$$
   Из них подходит только
   $$\cos x=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$
   Поэтому
   $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\cos^2 x+4\sin^2 x=2\sin 2x$$
   $$\cos^2 x+4\sin^2 x=4\sin x\cos x$$
   $$\cos^2 x-4\sin x\cos x+4\sin^2 x=0$$
   $$1-4\tan x+4\tan^2 x=0$$
   $$\left(2\tan x-1\right)^2=0$$
   $$\tan x=\frac12$$
   Следовательно,
   $$x=\arctan \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm \arccos \frac34+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\arctan \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\arctan \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.