Упр.152 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}}=27\cdot\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{x}}.$$

Обозначим

$$a=\sqrt{x}, \qquad b=\sqrt{x+2}.$$

Тогда уравнение можно переписать в виде

$$\frac{b-a}{b+a}=27\cdot \frac{b+a}{b-a}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\frac{b-a}{b+a}\right)^2=27\cdot \frac{b+a}{b-a}.$$

Умножим на $$\left(b+a\right)^2\left(b-a\right)$$:

$$\left(b-a\right)^3=27\left(b+a\right)^3.$$

Так как все величины неотрицательны, получаем

$$b-a=3(b+a).$$

Подставим $$a=\sqrt{x}$$, $$b=\sqrt{x+2}$$:

$$\sqrt{x+2}-\sqrt{x}=3\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\right).$$

Перенесём слагаемые:

$$-2\sqrt{x+2}=4\sqrt{x}.$$

Левая часть не положительна, а правая неотрицательна, значит равенство возможно только при

$$\sqrt{x+2}=0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x}=0,$$

что невозможно одновременно.

Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет.