Упр.151 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (12+x)^(1/7)/x+(12+x)^(1/7)/12=64/3x^(1/7);
б) x^2-5x-4vx+13=0.

а) Обозначим $$t=\sqrt[7]{x}.$$ Тогда $$x=t^7,$$ а уравнение примет вид

$$\frac{\sqrt[7]{12+x}}{x}+\frac{\sqrt[7]{12+x}}{12}=\frac{64}{3}\sqrt[7]{x}.$$

Умножим обе части на $$12x$$:

$$12\sqrt[7]{12+x}+x\sqrt[7]{12+x}=256x\sqrt[7]{x}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt[7]{12+x}\,(12+x)=256x\sqrt[7]{x}.$$

Возведём обе части в седьмую степень:

$$\bigl(\sqrt[7]{12+x}\,(12+x)\bigr)^7=\bigl(256x\sqrt[7]{x}\bigr)^7,$$

откуда

$$|12+x|=128|x|.$$

Рассмотрим два случая:

$$12+x=128x \quad \Rightarrow \quad 127x=12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{12}{127};$$

$$12+x=-128x \quad \Rightarrow \quad 129x=-12 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{4}{43}.$$

Оба значения подходят.

б) $$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=0.$$

Преобразуем выражение:

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x^2-4x+4)-x-4\sqrt{x}+9.$$

Но удобнее сгруппировать так:

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x-2)^2-(\sqrt{x}+2)^2+13.$$

При $$x\ge 0$$ имеем $$ (x-2)^2\ge 0 $$ и $$ (\sqrt{x}+2)^2\ge 4,$$ поэтому

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x-2)^2-(\sqrt{x}+2)^2+13>0.$$

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ

а) $$x=-\frac{4}{43},\ \frac{12}{127};$$ б) корней нет.