Упр.151 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- а) $$\sqrt{x^2-6x+9}>3$$; б) $$\sqrt{\frac{x^2-2x+3}{2x^2+x+1}}\mathrel{?}0$$; в) $$\sqrt{25-20x+4x^2}\mathrel{?}1$$; г) $$\sqrt{(2x-x^2+15)(3x-x^2-4)}\mathrel{?}0$$.
а) $$\sqrt{x^2-6x+9}>3.$$
Так как $$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$ получаем
$$\sqrt{(x-3)^2}>3 \;\;\Longrightarrow\;\; |x-3|>3.$$
Тогда
$$x-3>3 \quad \text{или} \quad x-3<-3,$$
откуда
$$x>6 \quad \text{или} \quad x<0.$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(6;+\infty).$$
б) $$\frac{\sqrt{x^2-2x+3}}{2x^2+x+1}\ge 0.$$
Числитель всегда определён, так как
$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$$
при любом $$x.$$
Знаменатель тоже всегда положителен, поскольку
$$2x^2+x+1>0,$$
так как его дискриминант
$$D=1-8=-7<0,$$
а старший коэффициент положителен.
Следовательно, дробь положительна при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$
в) $$\sqrt{25-20x+4x^2}\le 1.$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$25-20x+4x^2=(2x-5)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{(2x-5)^2}\le 1 \;\;\Longrightarrow\;\; |2x-5|\le 1.$$
Решаем двойное неравенство:
$$-1\le 2x-5\le 1,$$
$$4\le 2x\le 6,$$
$$2\le x\le 3.$$
Ответ: $$[2;3].$$
г) $$\sqrt{2x-x^2+15}\,(3x-x^2-4)\le 0.$$
Найдём область определения:
$$2x-x^2+15\ge 0,$$
$$-x^2+2x+15\ge 0,$$
$$x^2-2x-15\le 0,$$
$$(x-5)(x+3)\le 0,$$
откуда
$$-3\le x\le 5.$$
На этой области $$\sqrt{2x-x^2+15}\ge 0,$$ поэтому произведение не положительно тогда и только тогда, когда
$$3x-x^2-4\le 0.$$
Решим неравенство:
$$-x^2+3x-4\le 0,$$
$$x^2-3x+4\ge 0.$$
Дискриминант
$$D=9-16=-7<0,$$
значит, $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x,$$ и потому
$$3x-x^2-4<0$$ при всех $$x.$$
Следовательно, исходное неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения:
Ответ: $$[-3;5].$$
