Упр.151 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\frac{(12+x)^{1/7}}{x}+\frac{(12+x)^{1/7}}{12}=\frac{64}{3x^{1/7}}$$;
   б) $$x^2-5x-4vx+13=0$$.

а) Обозначим $$t=\sqrt[7]{x}.$$ Тогда $$x=t^7,$$ и уравнение примет вид

$$\frac{\sqrt[7]{12+x}}{x}+\frac{\sqrt[7]{12+x}}{12}=\frac{64}{3}\sqrt[7]{x}.$$

Умножим обе части на $$12x$$:

$$12\sqrt[7]{12+x}+x\sqrt[7]{12+x}=256x\sqrt[7]{x}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt[7]{12+x}\,(12+x)=256x\sqrt[7]{x}.$$

Возведём обе части в седьмую степень:

$$\bigl(\sqrt[7]{12+x}\,(12+x)\bigr)^7=\bigl(256x\sqrt[7]{x}\bigr)^7,$$

откуда

$$|12+x|^8=128^8|x|^8.$$

Следовательно,

$$|12+x|=128|x|,$$

то есть

$$12+x=\pm 128x.$$

Рассмотрим два случая:

$$129x=-12,\qquad x=-\frac{4}{43};$$

$$127x=12,\qquad x=\frac{12}{127}.$$

б) $$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=0.$$

Преобразуем выражение:

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=x^2-4x+4-x-4\sqrt{x}+9.$$

Тогда

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x-2)^2-(\sqrt{x}+2)^2+13.$$

Так как $$x\ge 0,$$ то $$\sqrt{x}\ge 0,$$ и получаем

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x-2)^2-(\sqrt{x}+2)^2+13>0.$$

Значит, равенство невозможно.

Ответ

а) $$x=-\frac{4}{43},\ \frac{12}{127};$$ б) корней нет.