Упр.150 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x^2-5)?2; б) v((x-2)(1-2x)) > -1;
в) v(x^2-16)?1; г) (vx-3)(x^2+1) > 0.

1. а) $$\sqrt{x^2-5}\ge 2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-5\ge 4$$

   $$x^2\ge 9$$

   $$|x|\ge 3$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

2. б) $$\sqrt{(x-2)(1-2x)}>-1$$

   Так как $$\sqrt{(x-2)(1-2x)}\ge 0$$, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение определено:

   $$ (x-2)(1-2x)\ge 0 $$

   Раскроем скобки:

   $$-2x^2+5x-2\ge 0$$

   $$2x^2-5x+2\le 0$$

   Найдём корни:

   $$D=25-16=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

   $$x_1=\frac12,\quad x_2=2$$

   Тогда

   $$x\in\left[\frac12;2\right].$$

3. в) $$\sqrt{x^2-16}\ge 1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-16\ge 1$$

   $$x^2\ge 17$$

   $$|x|\ge \sqrt{17}$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty).$$

4. г) $$\left(\sqrt{x}-3\right)(x^2+1)>0$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, то нужно решить неравенство

   $$\sqrt{x}-3>0$$

   $$\sqrt{x}>3$$

   $$x>9$$

   С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:

   $$x\in(9;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$; б) $$\left[\frac12;2\right]$$; в) $$(-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty)$$; г) $$ (9;+\infty) $$.