Упр.15 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Верно ли, что сумма (произведение) чисел $$a$$ и $$b$$ является рациональным (иррациональным) числом, если:

а) $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа;

б) $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа;

в) $$a$$ — рациональное, а $$b$$ — иррациональное число?

а) Если $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, то их можно записать в виде $$a=\frac{m}{n}$$, $$b=\frac{p}{k}$$, где $$m,n,p,k\in \mathbb{Z}$$, $$n\neq 0$$, $$k\neq 0$$. Тогда

$$ab=\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{k}=\frac{mp}{nk}\in \mathbb{Q},$$

$$a+b=\frac{m}{n}+\frac{p}{k}=\frac{mk+pn}{nk}\in \mathbb{Q}.$$

Значит, и сумма, и произведение рациональны.

б) Если $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа, то результат может быть разным.

Например,

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\in \mathbb{Q},$$

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}.$$

Также

$$\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2\in \mathbb{Q},$$

$$\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

Следовательно, сумма и произведение двух иррациональных чисел могут быть как рациональными, так и иррациональными.

в) Если $$a$$ — рациональное, а $$b$$ — иррациональное число, то результат тоже может быть разным.

Например, при $$a=0$$ и любом иррациональном $$b$$ имеем

$$ab=0\in \mathbb{Q},$$

а при $$a=1$$ получаем

$$ab=b\notin \mathbb{Q}.$$

Для суммы: если $$a=1$$ и $$b=\sqrt{2}$$, то

$$a+b=1+\sqrt{2}\notin \mathbb{Q},$$

а если $$a=-\sqrt{2}$$ нельзя, так как $$a$$ должно быть рациональным. Поэтому сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

Ответ: а) сумма и произведение рациональны; б) могут быть как рациональными, так и иррациональными; в) сумма иррациональна, произведение может быть как рациональным, так и иррациональным.