Упр.15 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какие задачи решаются при исследовании функции?
- Проведите исследование функции:
а) $$y=\sin(x)-2$$;
б) $$y=-\frac{6}{x-3}$$;
в) $$y=x^2-4x+3$$;
г) $$y=2\cos(x)+1$$. - Постройте графики этих функций.
1) При исследовании функции обычно находят:
- область определения и область значений;
- чётность и периодичность;
- точки пересечения с осями координат;
- промежутки знакопостоянства;
- промежутки монотонности;
- точки экстремума и значения функции в этих точках;
- поведение функции в особых точках.
Ход решения
2) Исследуем данные функции.
а) $$y=\sin x-2$$
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-3;-1], \qquad T=2\pi.$$
$$y(0)=\sin 0-2=-2.$$
Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то $$y=\sin x-2<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y_{\max}=-1;$$
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y_{\min}=-3.$$
б) $$y=-\frac{6}{x-3}$$
$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$y(0)=-\frac{6}{-3}=2.$$
При $$x<3$$ имеем $$y>0,$$ при $$x>3$$ имеем $$y<0.$$
Функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;3)$$ и $$(3;+\infty).$$
При $$x\to 3-$$ значение функции стремится к $$+\infty,$$ а при $$x\to 3+$$ — к $$-\infty.$$
в) $$y=x^2-4x+3$$
$$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-1;+\infty).$$
$$y=0 \iff x^2-4x+3=0 \iff (x-1)(x-3)=0,$$
значит, $$x_1=1,\; x_2=3.$$
$$y(0)=3.$$
$$y>0$$ при $$x<1$$ и $$x>3,$$ а $$y<0$$ при $$1<x<3.$$
Функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$
$$x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=-1.$$
г) $$y=2\cos x+1$$
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-1;3], \qquad T=2\pi.$$
Функция чётная.
$$y=0 \iff 2\cos x+1=0 \iff \cos x=-\frac12,$$
откуда
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$
$$y(0)=2\cos 0+1=3.$$
Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ то $$y<0$$ при $$x\in\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],$$
а $$y>0$$ при $$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb{Z}.$$
Функция возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$ и убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n].$$
$$x_{\min}=\pi+2\pi n,\qquad y_{\min}=-1;$$
$$x_{\max}=2\pi n,\qquad y_{\max}=3.$$
Ответ
Графики функций строятся по найденным характеристикам: для $$y=\sin x-2$$ — синусоида, сдвинутая вниз на 2; для $$y=-\dfrac{6}{x-3}$$ — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=0$$; для $$y=x^2-4x+3$$ — парабола с вершиной $$(2,-1)$$; для $$y=2\cos x+1$$ — косинусоида, растянутая по оси $$Oy$$ в 2 раза и сдвинутая вверх на 1.
