Упр.15 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $$n$$:
   а) $$6^{2n-1}+1$$ кратно 7;
   б) $$3^{3n+2}+2^{4n+1}$$ кратно 11;
   в) $$4^n+15n-1$$ кратно 9;
   г) $$7^{2n-1}$$ кратно 48.

Докажем утверждения методом математической индукции.

а)

Докажем, что $$6^{2n-1}+1$$ кратно $$7$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$6^{2\cdot 1-1}+1=6^1+1=6+1=7,$$

то есть выражение делится на $$7$$.

Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$6^{2k-1}+1$$ кратно $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:

$$6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+1}+1=6^2\cdot 6^{2k-1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1.$$

Так как $$36=35+1,$$ то

$$36\cdot 6^{2k-1}+1=35\cdot 6^{2k-1}+\bigl(6^{2k-1}+1\bigr).$$

Первое слагаемое кратно $$7$$, и по предположению индукции второе слагаемое тоже кратно $$7$$. Значит, всё выражение кратно $$7$$.

б)

Докажем, что $$3^{3n+2}+2^{4n+1}$$ кратно $$11$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$3^{3\cdot 1+2}+2^{4\cdot 1+1}=3^5+2^5=243+32=275,$$

а $$275$$ делится на $$11$$.

Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$3^{3k+2}+2^{4k+1}$$ кратно $$11$$. Докажем для $$n=k+1$$:

$$3^{3(k+1)+2}+2^{4(k+1)+1}=3^{3k+5}+2^{4k+5}.$$

Преобразуем:

$$3^{3k+5}+2^{4k+5}=3^3\cdot 3^{3k+2}+2^4\cdot 2^{4k+1} =27\cdot 3^{3k+2}+16\cdot 2^{4k+1}.$$

Так как $$27=22+5$$ и $$16=11+5,$$ то

$$27\cdot 3^{3k+2}+16\cdot 2^{4k+1} =11\cdot 3^{3k+2}+5\bigl(3^{3k+2}+2^{4k+1}\bigr)+11\cdot 2^{4k+1}.$$

Здесь сумма в скобках кратна $$11$$ по предположению индукции, значит всё выражение кратно $$11$$.

в)

Докажем, что $$4^n+15n-1$$ кратно $$9$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$4^1+15\cdot 1-1=4+15-1=18,$$

а $$18$$ делится на $$9$$.

Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$4^k+15k-1$$ кратно $$9$$. Докажем для $$n=k+1$$:

$$4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot 4^k+15k+14.$$

Представим так:

$$4\cdot 4^k+15k+14=4(4^k+15k-1)-45k+18.$$

Так как $$45k-18=9(5k-2),$$ то

$$4^{k+1}+15(k+1)-1=4(4^k+15k-1)-9(5k-2).$$

Оба слагаемых справа кратны $$9$$, значит и всё выражение кратно $$9$$.

г)

Докажем, что $$7^{2n-1}$$ кратно $$48$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$7^{2\cdot 1-1}=7^1=7,$$

а это не кратно $$48$$.

Следовательно, утверждение в таком виде неверно.

Ответ

а) верно; б) верно; в) верно; г) неверно, так как при $$n=1$$ получаем $$7$$, а $$7$$ не делится на $$48$$.