Упр.15 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$\cos \alpha=-\frac{12}{13}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит, $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во второй четверти. Поэтому

   $$\sin \frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos \frac{\alpha}{2}<0,\quad \tg \frac{\alpha}{2}<0.$$

   По формулам половинного аргумента:

   $$ \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} =\frac{1- \left(-\frac{12}{13}\right)}{2} =\frac{25}{26}, $$
   значит
   $$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{5}{\sqrt{26}}. $$

   $$ \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} =\frac{1+\left(-\frac{12}{13}\right)}{2} =\frac{1}{26}, $$
   значит
   $$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{26}}. $$

   $$ \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{5}{\sqrt{26}}:\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=-5. $$

2. б) $$\sin \alpha=\frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   Тогда $$\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2},$$ то есть $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит в первой четверти. Следовательно,

   $$\sin \frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos \frac{\alpha}{2}>0,\quad \tg \frac{\alpha}{2}>0.$$

   Найдём косинус угла $$\alpha$$:

   $$ \cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}, $$
   значит
   $$ \cos \alpha=-\frac{4}{5}. $$

   Теперь применим формулы половинного аргумента:

   $$ \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} =\frac{1+\frac{4}{5}}{2} =\frac{9}{10}, $$
   значит
   $$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}. $$

   $$ \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} =\frac{1-\frac{4}{5}}{2} =\frac{1}{10}, $$
   значит
   $$ \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}. $$

   $$ \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{3}{\sqrt{10}}:\frac{1}{\sqrt{10}}=3. $$

3. в) $$\cos \alpha=\frac{24}{25}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Тогда $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi,$$ то есть $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во второй четверти. Поэтому

   $$\sin \frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos \frac{\alpha}{2}<0,\quad \tg \frac{\alpha}{2}<0.$$

   По формуле:

   $$ \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} =\frac{1-\frac{24}{25}}{2} =\frac{1}{50}, $$
   значит
   $$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{5\sqrt{2}}. $$

   $$ \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} =\frac{1+\frac{24}{25}}{2} =\frac{49}{50}, $$
   значит
   $$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{7}{5\sqrt{2}}. $$

   $$ \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{1}{5\sqrt{2}}:\left(-\frac{7}{5\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{7}. $$

4. г) $$\sin \alpha=\frac{8}{17}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Тогда $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит, $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во второй четверти. Следовательно,

   $$\sin \frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos \frac{\alpha}{2}<0,\quad \tg \frac{\alpha}{2}<0.$$

   Найдём косинус угла $$\alpha$$:

   $$ \cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}, $$
   значит
   $$ \cos \alpha=-\frac{15}{17}. $$

   Теперь:

   $$ \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} =\frac{1+\frac{15}{17}}{2} =\frac{16}{17}, $$
   значит
   $$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{4}{\sqrt{17}}. $$

   $$ \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} =\frac{1-\frac{15}{17}}{2} =\frac{1}{17}, $$
   значит
   $$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{17}}. $$

   $$ \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{4}{\sqrt{17}}:\left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right)=-4. $$

Ответ

а) $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{5}{\sqrt{26}},\ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{26}},\ \tg \frac{\alpha}{2}=-5$$
б) $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg \frac{\alpha}{2}=3$$
в) $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{5\sqrt{2}},\ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{7}{5\sqrt{2}},\ \tg \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{7}$$
г) $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{4}{\sqrt{17}},\ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{17}},\ \tg \frac{\alpha}{2}=-4$$