Упр.15 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos \alpha=-\frac{12}{13},\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит, $$\sin \frac{\alpha}{2}>0,\ \cos \frac{\alpha}{2}<0,\ \tg \frac{\alpha}{2}<0.$$

По формулам половинного аргумента:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-(-\frac{12}{13})}{2}=\frac{25}{26},$$

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+(-\frac{12}{13})}{2}=\frac{1}{26},$$

$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1}{26}}=-\frac{1}{\sqrt{26}}.$$

Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\cdot\left(-\sqrt{26}\right)=-5.$$

б) $$\sin\alpha=\frac{3}{5},\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то $$\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2},$$ значит, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\ \cos\frac{\alpha}{2}>0,\ \tg\frac{\alpha}{2}>0.$$

Найдём $$\cos\alpha$$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},$$

$$\cos\alpha=-\frac{4}{5}.$$

Теперь используем формулы половинного аргумента:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10},$$

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{4}{5}}{2}=\frac{1}{10},$$

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\sqrt{10}=3.$$

в) $$\cos\alpha=\frac{24}{25},\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi,$$ значит, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\ \cos\frac{\alpha}{2}<0,\ \tg\frac{\alpha}{2}<0.$$

По формулам половинного аргумента:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{24}{25}}{2}=\frac{1}{50},$$

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}.$$

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac{24}{25}}{2}=\frac{49}{50},$$

$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{49}{50}}=-\frac{7}{5\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{5\sqrt{2}}{7}\right)=-\frac{1}{7}.$$

г) $$\sin\alpha=\frac{8}{17},\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\ \cos\frac{\alpha}{2}<0,\ \tg\frac{\alpha}{2}<0.$$

Найдём $$\cos\alpha$$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289},$$

$$\cos\alpha=-\frac{15}{17}.$$

Теперь:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac{15}{17}}{2}=\frac{16}{17},$$

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{16}{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.$$

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{15}{17}}{2}=\frac{1}{17},$$

$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1}{17}}=-\frac{1}{\sqrt{17}}.$$

Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}\cdot\left(-\sqrt{17}\right)=-4.$$

Ответ: а) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{\sqrt{26}},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{26}},\ \tg\frac{\alpha}{2}=-5;$$ б) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg\frac{\alpha}{2}=3;$$ в) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{5\sqrt{2}},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{7}{5\sqrt{2}},\ \tg\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{7};$$ г) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{\sqrt{17}},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{\sqrt{17}},\ \tg\frac{\alpha}{2}=-4.$$