Упр.148 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём общие точки графиков каждой функции с заданной прямой, подставляя значение координаты в уравнение функции.
а) $$x=4{,}5\pi$$
Подставим $$x=4{,}5\pi$$ в обе функции.
Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:
$$y=2\cos\left(2\cdot 4{,}5\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(9\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(8\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =2\cos\frac{2\pi}{3} =-1.$$
Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:
$$y=\sin\left(\frac{4{,}5\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{9\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{5\pi}{2} =1.$$
Точки пересечения:
$$\left(4{,}5\pi;\,-1\right),\quad \left(4{,}5\pi;\,1\right).$$
б) $$y=-1$$
Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:
$$-1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$
Отсюда
$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:
$$-1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
Значит,
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=-\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки пересечения:
$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-1\right),\quad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,-1\right),\quad \left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,-1\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$y=1$$
Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:
$$1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$
Отсюда
$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:
$$1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
Значит,
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки пересечения:
$$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,1\right),\quad \left(\pi n;\,1\right),\quad \left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,1\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$y=0$$
Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:
$$0=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$
Тогда
$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:
$$0=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
Значит,
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки пересечения:
$$\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,0\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,0\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(4{,}5\pi;\,-1\right),\ \left(4{,}5\pi;\,1\right)$$;
б) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-1\right),\ \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,-1\right),\ \left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,-1\right),\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,1\right),\ \left(\pi n;\,1\right),\ \left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,1\right),\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,0\right),\ \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z.$$
