Упр.148 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$x=4{,}5\pi$$

Подставим значение абсциссы в каждую функцию.

Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$ y=2\cos\left(2\cdot 4{,}5\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(9\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(8\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =2\cos\frac{2\pi}{3} =-1. $$

Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$ y=\sin\left(\frac{4{,}5\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{9\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{5\pi}{2} =1. $$

Точки пересечения: $$\left(4{,}5\pi;-1\right)$$ и $$\left(4{,}5\pi;1\right)$$.

б) $$y=-1$$

Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$ -1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12. $$

$$ 2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

$$ 2x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, $$

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$ -1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right). $$

$$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ x=-\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Точки пересечения:

$$ \left(\frac{\pi}{2}+\pi n;-1\right),\quad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;-1\right),\quad \left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi n;-1\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

в) $$y=1$$

Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$ 1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. $$

$$ 2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

$$ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=2\pi n, $$

$$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$ 1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right). $$

$$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ x=\frac{\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Точки пересечения:

$$ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n;1\right),\quad \left(\pi n;1\right),\quad \left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;1\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

г) $$y=0$$

Для $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$ 0=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0. $$

$$ 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ 2x=\frac{5\pi}{6}+\pi n, \qquad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Для $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$ 0=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right), $$

$$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Точки пересечения:

$$ \left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};0\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;0\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\left(4{,}5\pi;-1\right)$$ и $$\left(4{,}5\pi;1\right)$$;
б) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;-1\right)$$, $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;-1\right)$$, $$\left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi n;-1\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$;
в) $$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;1\right)$$, $$\left(\pi n;1\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;1\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$;
г) $$\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};0\right)$$, $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;0\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.