Упр.147 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Используем формулу синуса разности:

$$\sin(3x-x)=\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1$$

Преобразуем левую часть по формуле двойного угла:

$$-\left(\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}\right)=1$$

$$-\cos\frac{x}{2}=1$$

$$\cos\frac{x}{2}=-1.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin 2x\cos 2x=-\frac14$$

Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 4x=-\frac12$$

Тогда

$$4x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим обе части на $$4$$:

$$x=(-1)^n\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Преобразуем левую часть по формуле синуса разности:

$$\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Умножим обе части на $$3$$:

$$x=\frac{3\pi}{5}+(-1)^n\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=2\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$x=(-1)^n\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x=\frac{3\pi}{5}+(-1)^n\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$