Упр.146 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{6}-2x.$$ Тогда получаем

$$\cos t=-1.$$

Отсюда

$$t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n,$$

$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}.$$ Тогда

$$2\sin t=\sqrt{3},$$

$$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$x=\frac{4\pi}{3}(-1)^{n+1}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\tg t=-1.$$

Отсюда

$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\pi-2\pi n.$$

Так как $$n\in\mathbb Z,$$ можно записать:

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{4}-3x.$$ Тогда

$$2\cos t=\sqrt{2},$$

$$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Рассмотрим оба случая:

$$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{2\pi n}{3},$$

$$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi n}{3}.$$

Объединяя, получаем:

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{4\pi}{3}(-1)^{n+1}+\frac{4\pi}{3}n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$