Упр.145 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) vx+(x-1)^(1/3)=1; б) (10-x)^(1/3)+(3-x)^(1/3)=1;
в) x+x^(1/3)=2; г) (9-v(x+1))^(1/3)+(7+v(x+1))^(1/3)=4.

1. а) Пусть $$a=\sqrt{x}$$, $$b=\sqrt[3]{x-1}$$. Тогда

   $$a+b=1,$$
   $$a^2-b^3=x-(x-1)=1.$$

   Из $$a=1-b$$ получаем:

   $$(1-b)^2-b^3=1,$$
   $$1-2b+b^2-b^3=1,$$
   $$b^3-b^2+2b=0,$$
   $$b(b^2-b+2)=0.$$

   Так как $$D=1-8=-7<0$$, то действительных корней у квадратного трёхчлена нет, значит $$b=0$$. Тогда

   $$x-1=0,$$
   $$x=1.$$

2. б) Пусть $$a=\sqrt[3]{10-x}$$, $$b=\sqrt[3]{3-x}$$. Тогда

   $$a-b=1,$$
   $$a^3-b^3=10-x-(3-x)=7.$$

   Подставим $$b=a-1$$:

   $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=7,$$
   $$a^2+a(a-1)+(a-1)^2=7,$$
   $$3a^2-3a-6=0,$$
   $$a^2-a-2=0.$$

   $$D=1+8=9,$$
   $$a_1=-1,\quad a_2=2.$$

   Тогда

   $$10-x=-1 \Rightarrow x=11,$$
   $$10-x=8 \Rightarrow x=2.$$

3. в) Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$. Тогда

   $$a^3+a=2,$$
   $$a^3+a-2=0.$$

   Проверим $$a=1$$:

   $$1^3+1-2=0.$$

   Значит,

   $$(a-1)(a^2+a+2)=0.$$

   У квадратного трёхчлена дискриминант

   $$D=1-8=-7<0,$$

   поэтому $$a=1$$, откуда

   $$x=1^3=1.$$

4. г) Пусть $$a=\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}$$, $$b=\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}$$. Тогда

   $$a+b=4,$$
   $$a^3+b^3=9-\sqrt{x+1}+7+\sqrt{x+1}=16.$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=16,$$
   $$4(a^2-ab+b^2)=16,$$
   $$a^2-ab+b^2=4.$$

   Так как $$a+b=4$$, то

   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16.$$

   Вычтем из этого равенства полученное выше:

   $$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=16-4,$$
   $$3ab=12,$$
   $$ab=4.$$

   Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

   $$t^2-4t+4=0,$$
   $$(t-2)^2=0,$$
   $$t=2.$$

   Следовательно, $$a=2$$, значит

   $$9-\sqrt{x+1}=8,$$
   $$\sqrt{x+1}=1,$$
   $$x+1=1,$$
   $$x=0.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$2,\,11$$; в) $$1$$; г) $$0$$.