Упр.145 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) m+4/m?4 при m > 0; б) 2m/(1+m^2)?1;
в) a/b+b/a?2 при a > 0, b > 0;
г) a/b < (a+c)/(b+c) при a > 0, b > 0, c > 0, a < b.

а) При $$m>0$$ рассмотрим разность:

$$m+\frac{4}{m}-4=\frac{m^2-4m+4}{m}=\frac{(m-2)^2}{m}\ge 0.$$

Значит,

$$m+\frac{4}{m}\ge 4.$$

б) Так как $$1+m^2>0,$$ то достаточно доказать:

$$\frac{2m}{1+m^2}\le 1 \iff 2m\le 1+m^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$m^2-2m+1=(m-1)^2\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{2m}{1+m^2}\le 1.$$

в) При $$a>0,\ b>0$$ имеем:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

Значит,

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

г) Так как $$a<b$$ и $$c>0,$$ то

$$a+c<b+c.$$

При положительных знаменателях сравним дроби перекрёстным умножением:

$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c} \iff a(b+c)<b(a+c).$$

Раскроем скобки:

$$ab+ac<ab+bc \iff ac<bc \iff c(a-b)<0.$$

Так как $$c>0$$ и $$a-b<0,$$ то $$c(a-b)<0.$$ Следовательно,

$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}.$$

Ответ

а) $$m+\frac{4}{m}\ge 4$$; б) $$\frac{2m}{1+m^2}\le 1$$; в) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$; г) $$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$$.