Упр.145 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

   Положим $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$2\cos t=\sqrt{3}, \qquad \cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   Умножим на 2:

   $$x=\frac{\pi}{3}\pm \frac{\pi}{3}+4\pi n.$$

   Значит,

   $$x=4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$

   Положим $$t=3x-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

   $$2\sin t=-\sqrt{2}, \qquad \sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   $$3x=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Делим на 3:

   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{(-1)^{n+1}\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sqrt{3}\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=3$$

   Положим $$t=\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}.$$ Тогда

   $$\sqrt{3}\tg t=3, \qquad \tg t=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   $$\frac{x}{3}=\pi n.$$

   Умножим на 3:

   $$x=3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

   Положим $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$\sin t=-1.$$

   Значит,

   $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Умножим на 2:

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=4\pi n$$ или $$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{(-1)^{n+1}\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.