Упр.144 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения:
а) $$\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1$$;
б) $$\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3$$;
в) $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1$$;
г) $$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac14}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac14}=4\frac14$$.
а) Обозначим $$t=\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}.$$ Тогда
$$t=x-1.$$
Возведём в квадрат:
$$1-\sqrt{x^4-x^2}=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$
откуда
$$\sqrt{x^4-x^2}=2x-x^2.$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^4-x^2=(2x-x^2)^2=x^4-4x^3+5x^2,$$
$$5x^2-4x^3=0,$$
$$x^2(5-4x)=0.$$
Получаем $$x=0$$ или $$x=\frac54.$$
Проверим область допустимых значений:
$$1-\sqrt{x^4-x^2}\ge 0,\quad x-1\ge 0.$$
Значит, $$x\ge 1.$$
Подходит только $$x=\frac54.$$
б) Пусть $$y=x^2-3x+3.$$ Тогда
$$\sqrt{y}+\sqrt{y+3}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$y+2\sqrt{y(y+3)}+y+3=9,$$
$$2\sqrt{y^2+3y}=6-2y,$$
$$\sqrt{y^2+3y}=3-y.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+3y=(3-y)^2=9-6y+y^2,$$
$$9y=9,$$
$$y=1.$$
Тогда
$$x^2-3x+3=1,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0.$$
Следовательно, $$x=1$$ или $$x=2.$$
в) Обозначим $$t=\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}.$$ Тогда
$$t=x-1.$$
Возведём в квадрат:
$$1+x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x+1,$$
$$x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x.$$
При $$x\ne 0$$ получаем
$$\sqrt{x^2-24}=x-2.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2-24=(x-2)^2=x^2-4x+4,$$
$$4x=28,$$
$$x=7.$$
Проверка показывает, что это значение подходит.
г) Пусть
$$y=\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}.$$
Тогда
$$\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=\frac1y,$$
и уравнение принимает вид
$$y+\frac1y=4\frac14=\frac{17}{4}.$$
Умножим на $$4y$$:
$$4y^2-17y+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225,$$
$$y_1=\frac{17-15}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{17+15}{8}=4.$$
1) Если $$y=\frac14,$$ то
$$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=\frac14,$$
$$\frac{x+1}{x-1}=\frac1{256},$$
$$256(x+1)=x-1,$$
$$255x=-257,$$
$$x=-\frac{257}{255}.$$
2) Если $$y=4,$$ то
$$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=4,$$
$$\frac{x+1}{x-1}=256,$$
$$x+1=256x-256,$$
$$255x=257,$$
$$x=\frac{257}{255}.$$
Ответ
а) $$\frac54$$; б) $$1,\,2$$; в) $$7$$; г) $$-\frac{257}{255},\,\frac{257}{255}$$.
