Упр.144 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим в каждом пункте новую переменную и решим стандартные тригонометрические уравнения.

Ход решения

1. $$\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Пусть $$t=-\frac{x}{3}.$$ Тогда

   $$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

   $$-\frac{x}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg(-4x)=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Пусть $$t=-4x.$$ Тогда

   $$\tg t=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-4x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos(-2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Так как косинус — чётная функция, то

   $$\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Пусть $$t=2x.$$ Тогда

   $$\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)=1.$$

   Пусть $$t=-\frac{x}{2}.$$ Тогда

   $$\ctg t=1.$$

   Значит,

   $$t=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}-2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$n\in\mathbb Z$$, можно записать ответ в виде

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z;$$

в) $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$