Упр.143 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства: а) $$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ ?\ 0$$; б) $$\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}\ ?\ 0$$; в) $$\frac{x-2}{(x-3)(x-5)}<0$$; г) $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}>0$$.

а) $$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=1,\; x=2,\; x=3.$$

Рассмотрим знаки на промежутках:

$$(-\infty;1),\ (1;2),\ (2;3),\ (3;+\infty).$$

Подходит:

$$[1;2]\cup(3;+\infty).$$

б) $$\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}\le 0.$$

Числитель разложим на множители:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

Знаменатель:

$$x^2-2x+8=(x-1)^2+7>0$$

при любом $$x.$$ Значит, знак дроби определяется только числителем:

$$(x+3)(x-1)\le 0.$$

Отсюда

$$-3\le x\le 1.$$

в) $$\frac{x-2}{(x-3)(x-5)}<0.$$

Критические точки: $$x=2,\; x=3,\; x=5.$$

Знак дроби отрицателен на промежутках

$$(-\infty;2)\cup(3;5).$$

г) $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+5x+4=(x+1)(x+4),$$

$$x^2-5x-6=(x-6)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(x+4)}{(x-6)(x+1)}>0,$$

где $$x\ne -1,\; x\ne 6.$$ Сокращаем на $$x+1$$ и получаем

$$\frac{x+4}{x-6}>0.$$

Эта дробь положительна при

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>6.$$

Ответ

а) $$[1;2]\cup(3;+\infty)$$; б) $$[-3;1]$$; в) $$(-\infty;2)\cup(3;5)$$; г) $$(-\infty;-4)\cup(6;+\infty).$$