Упр.143 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Самолёт совершает посадку и движется по земле в течение некоторого времени равномерно со скоростью $$v$$. Затем лётчик включает тормоза, и движение самолёта становится равнозамедленным, причём в каждую секунду скорость уменьшается на $$2\ \text{м/с}$$. Путь от места приземления до полной остановки равен $$4\ \text{км}$$. Отношение времени, за которое самолёт проходит первые $$400\ \text{м}$$, к времени, за которое самолёт проходит весь путь по земле, равно $$4:65$$. Определите скорость $$v$$.

Подробный ответ

Обозначим:

$$x$$ — время торможения,

$$y$$ — время движения самолёта без тормозов.

Тогда за время $$y$$ самолёт проходит путь $$vy$$, а за время торможения при равнозамедленном движении со скоростью, уменьшающейся на $$2$$ м/с каждую секунду, путь равен

$$vx-\frac{2x^2}{2}=vx-x^2.$$

Так как весь путь равен $$4000$$ м, получаем первое уравнение:

$$vy+vx-x^2=4000.$$

По условию отношение времени, за которое самолёт проходит первые $$400$$ м, к времени всего движения по земле равно $$4:65$$. Значит, если всё время движения равно $$x+y$$, то

$$\frac{400}{v} : (x+y)=\frac{4}{65},$$

откуда

$$\frac{400}{v(x+y)}=\frac{4}{65},$$

$$v(x+y)=6500.$$

Вычтем из этого равенства первое:

$$v(x+y)-\bigl(vy+vx-x^2\bigr)=6500-4000,$$

$$x^2=2500,$$

$$x=50.$$

Тогда из $$v(x+y)=6500$$ и $$x+y=\frac{6500}{v}$$ получаем, что

$$v=\frac{6500}{x+y}.$$

Подставляя $$x=50$$ в первое уравнение, имеем

$$50v+vy-2500=4000,$$