Упр.143 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (x-1)(x-2)/(x-3)?0; б) (x^2+2x-3)/(x^2-2x+8)?0;
в) (x-2)/((x-3)(x-5)) < 0; г) (x^2+5x+4)/(x^2-5x-6) > 0.

1. $$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ge 0$$
   
   Критические точки: $$x=1,\; x=2,\; x=3.$$
   
   Рассмотрим знаки на промежутках:
   • $$(-\infty;1)$$
   • $$[1;2]$$
   • $$(2;3)$$
   • $$(3;+\infty)$$

   На промежутках $$[1;2]$$ и $$ (3;+\infty)$$ дробь неотрицательна.
   
   Ответ: $$[1;2]\cup(3;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}\le 0$$
   
   Знаменатель всегда положителен, так как
   $$x^2-2x+8=(x-1)^2+7>0.$$
   
   Значит, нужно решить:
   $$x^2+2x-3\le 0.$$
   
   Разложим на множители:
   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$
   
   Тогда
   $$ (x+3)(x-1)\le 0,$$
   откуда
   $$-3\le x\le 1.$$
   
   Ответ: $$[-3;1].$$
3. $$\frac{x-2}{(x-3)(x-5)}<0$$
   Критические точки: $$x=2,\; x=3,\; x=5.$$
   
   Проверяем знаки на промежутках. Отрицательное значение дробь принимает при
   $$x\in(-\infty;2)\cup(3;5).$$
   
   Ответ: $$(-\infty;2)\cup(3;5).$$
4. $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}>0$$
   
   Разложим на множители:
   $$x^2+5x+4=(x+1)(x+4),$$
   $$x^2-5x-6=(x-6)(x+1).$$
   
   Тогда
   $$\frac{(x+1)(x+4)}{(x-6)(x+1)}>0.$$
   
   Сокращать на $$x+1$$ нельзя, поэтому учитываем, что $$x\ne -1.$$
   
   После исследования знаков получаем:
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(6;+\infty).$$
   
   Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(6;+\infty).$$