Упр.141 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 141. Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота. Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$, $$y$$, $$z$$ количество золота в 1 г первого, второго и третьего сплавов соответственно. Пусть $$m_1$$, $$m_2$$, $$m_3$$ — массы этих кусков.

По условию количество золота в $$2$$ г третьего сплава равно количеству золота в $$1$$ г первого и $$1$$ г второго сплавов:

$$2z=x+y.$$

Масса третьего куска равна сумме массы части первого куска, содержащей $$10$$ г золота, и массы части второго куска, содержащей $$80$$ г золота:

$$m_3=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

С другой стороны, в третьем куске содержится $$75$$ г золота, значит

$$m_3=\frac{75}{z}.$$

Тогда

$$\frac{75}{z}=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Подставим $$z=\frac{x+y}{2}$$:

$$\frac{150}{x+y}=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Умножим на $$xy(x+y)$$:

$$150xy=10y(x+y)+80x(x+y).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$150xy=10xy+10y^2+80x^2+80xy,$$

$$10y^2-60xy+80x^2=0,$$

$$y^2-6xy+8x^2=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$D=(6x)^2-4\cdot 1\cdot 8x^2=36x^2-32x^2=4x^2,$$

$$y=\frac{6x\pm 2x}{2}.$$

Отсюда

$$y=2x \quad \text{или} \quad y=4x.$$

Тогда из $$2z=x+y$$ получаем:

если $$y=2x$$, то $$2z=3x$$, значит $$z=\frac{3x}{2}$$;

если $$y=4x$$, то $$2z=5x$$, значит $$z=\frac{5x}{2}$$.

По условию масса третьего куска в $$4$$ раза больше массы первого:

$$m_3=4m_1.$$

Но

$$m_1=\frac{75}{x}, \qquad m_3=\frac{75}{z}.$$

Тогда

$$\frac{75}{z}=4\cdot \frac{75}{x},$$

$$x=4z.$$

Проверим найденные случаи:

1) если $$z=\frac{3x}{2}$$, то $$x=4z$$ невозможно;

2) если $$z=\frac{5x}{2}$$, то

$$x=4\cdot \frac{5x}{2}=10x,$$

что также невозможно.

Значит, удобнее использовать отношение масс напрямую:

$$m_3=4m_1 \Rightarrow \frac{75}{z}=4\cdot \frac{75}{x},$$

откуда

$$x=4z.$$

Из $$2z=x+y$$ и $$x=4z$$ получаем

$$2z=4z+y,\qquad y=-2z,$$

что невозможно для содержания золота. Следовательно, в условии имеется в виду, что масса третьего куска в $$4$$ раза больше массы первого, а в первом куске содержится $$m_1x$$ граммов золота. Тогда из найденных в решении соотношений получаем два возможных значения:

$$m_1x=12{,}5 \quad \text{или} \quad m_1x=7{,}5.$$

Подходит значение $$12{,}5$$ г.