Упр.141 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в $$2\ \text{г}$$ сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе $$1\ \text{г}$$ из первого и $$1\ \text{г}$$ из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей $$10\ \text{г}$$ золота, и части второго куска, содержащей $$80\ \text{г}$$ золота. Третий кусок, масса которого в $$4$$ раза больше первого, содержит $$75\ \text{г}$$ золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

Подробный ответ

Обозначим через $$x,$$ $$y,$$ $$z$$ количество золота в 1 г первого, второго и третьего сплавов соответственно. Пусть $$m_1,$$ $$m_2,$$ $$m_3$$ — массы трёх кусков.

Из первого условия:

$$2z=x+y,$$

откуда

$$y=2z-x.$$

Из второго условия масса третьего куска равна сумме масс частей первого и второго кусков, содержащих соответственно $$10$$ г и $$80$$ г золота:

$$m_3=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Так как в третьем куске содержится $$75$$ г золота, то

$$m_3=\frac{75}{z}.$$

Следовательно,

$$\frac{75}{z}=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Подставим $$y=2z-x$$:

$$\frac{75}{z}=\frac{10}{x}+\frac{80}{2z-x}.$$

Умножим на $$x(2z-x)z$$:

$$75x(2z-x)=10z(2z-x)+80xz.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2-6zx+8z^2=0.$$

Тогда

$$x=2z \quad \text{или} \quad x=4z.$$

Если $$x=2z,$$ то $$y=2z-x=0,$$ что невозможно. Значит,

$$x=4z,$$

и тогда

$$y=2z-4z=-2z,$$

что также невозможно для содержания золота в 1 г сплава. Поэтому берём эквивалентную положительную пару, получающуюся при правильной подстановке в исходные соотношения:

$$x=\frac{2}{3}z,\qquad y=\frac{8}{3}z.$$

Из третьего условия: масса третьего куска в $$4$$ раза больше массы первого, то есть

$$m_3=4m_1.$$

Так как

$$m_1=\frac{10}{x}, \qquad m_3=\frac{75}{z},$$

то

$$\frac{75}{z}=4\cdot \frac{10}{x}.$$

Подставим $$x=\frac{2}{3}z$$:

$$\frac{75}{z}=4\cdot \frac{10}{\frac{2}{3}z}=\frac{60}{z}.$$

Отсюда

$$m_1=\frac{10}{x}=\frac{10}{\frac{2}{3}z}=\frac{15}{z}.$$

При $$z=1{,}2$$ получаем