Упр.140 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (6x-x^2-6)/(x-1)-(2x-3)/(x-1)=1; б) (2x+1)/x+4x/(2x+1)=5;
в) 2/(x^2+5x)+3/(2x-10)=15/(x^2-25); г) 14/(x^2-4)+3/(2-x)^2=5/(x+2)^2.

1. а)

   $$\frac{6x-x^2-6}{x-1}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$
   $$\frac{6x-x^2-6-(2x-3)}{x-1}=1$$
   $$\frac{4x-x^2-3}{x-1}=1$$
   $$4x-x^2-3=x-1$$
   $$x^2-3x+2=0$$
   $$ (x-1)(x-2)=0 $$
   $$x=1 \text{ или } x=2$$

   Но $$x\neq 1$$, так как $$x-1\neq 0$$. Значит, $$x=2$$.

2. б)

   $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$
   $$\frac{(2x+1)^2+4x^2}{x(2x+1)}=5$$
   $$4x^2+4x+1+4x^2=5x(2x+1)$$
   $$8x^2+4x+1=10x^2+5x$$
   $$2x^2+x-1=0$$
   $$ (2x-1)(x+1)=0 $$
   $$x=\frac12 \text{ или } x=-1$$

   Область определения: $$x\neq 0$$, $$x\neq -\frac12$$. Оба корня подходят.

3. в)

   $$\frac{2}{x^2+5x}+\frac{3}{2x-10}=\frac{15}{x^2-25}$$
   $$\frac{2}{x(x+5)}+\frac{3}{2(x-5)}=\frac{15}{(x-5)(x+5)}$$

   Умножим на $$2x(x+5)(x-5)$$:

   $$4(x-5)+3x(x+5)=30x$$
   $$4x-20+3x^2+15x=30x$$
   $$3x^2-11x-20=0$$
   $$D= (-11)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=121+240=361$$
   $$x=\frac{11\pm 19}{6}$$
   $$x_1=5,\quad x_2=-\frac43$$

   Так как $$x\neq -5$$, $$x\neq 5$$, то подходит только $$x=-\frac43$$.

4. г)

   $$\frac{14}{x^2-4}+\frac{3}{(2-x)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}$$
   $$\frac{14}{(x-2)(x+2)}+\frac{3}{(x-2)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}$$

   Умножим на $$ (x-2)^2(x+2)^2 $$:

   $$14(x-2)(x+2)+3(x+2)^2=5(x-2)^2$$
   $$14(x^2-4)+3(x^2+4x+4)=5(x^2-4x+4)$$
   $$14x^2-56+3x^2+12x+12=5x^2-20x+20$$
   $$12x^2+32x-64=0$$
   $$3x^2+8x-16=0$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-16)=64+192=256$$
   $$x=\frac{-8\pm 16}{6}$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=\frac43$$

   Область определения: $$x\neq -2$$, $$x\neq 2$$. Оба корня подходят.

Ответ

а) $$2$$; б) $$-1,\ \frac12$$; в) $$-\frac43$$; г) $$-4,\ \frac43$$.