Упр.14 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что не является рациональным каждое из чисел: а) $$\sqrt{5}$$; б) $$2\sqrt{7}$$; в) $$\sqrt{5}+1$$; г) $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$.

Докажем, что каждое из данных чисел не является рациональным.

1. Пусть $$\sqrt{5}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$5=\frac{p^2}{q^2},$$

   откуда

   $$p^2=5q^2.$$

   Значит, $$p^2$$ делится на $$5$$, следовательно, $$p$$ делится на $$5$$: $$p=5k.$$

   Подставим:

   $$25k^2=5q^2,\qquad q^2=5k^2.$$

   Тогда $$q^2$$ тоже делится на $$5$$, значит, $$q$$ делится на $$5$$. Получаем противоречие с несократимостью дроби $$\frac{p}{q}$$. Следовательно, $$\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}.$$

2. Пусть $$2\sqrt{7}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$\sqrt{7}=\frac{p}{2q},$$

   и, значит, $$\sqrt{7}$$ рационально. Но по аналогии с пунктом а) получаем противоречие: $$\sqrt{7}\notin \mathbb{Q}.$$

   Следовательно, $$2\sqrt{7}\notin \mathbb{Q}.$$

3. Если бы $$\sqrt{5}+1$$ было рациональным числом, то разность

   $$\left(\sqrt{5}+1\right)-1=\sqrt{5}$$

   тоже была бы рациональной, что противоречит пункту а).

   Значит, $$\sqrt{5}+1\notin \mathbb{Q}.$$

4. Пусть $$\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$\sqrt{7}=\frac{3p}{q},$$

   то есть $$\sqrt{7}$$ рационально, что противоречит пункту б).

   Следовательно, $$\frac{\sqrt{7}}{3}\notin \mathbb{Q}.$$

Ответ: $$\sqrt{5},\ 2\sqrt{7},\ \sqrt{5}+1,\ \frac{\sqrt{7}}{3}$$ — иррациональные числа.