Упр.14 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v5; б) 2v7; в) v5+1; г) v7/3.

Докажем, что каждое из данных чисел не является рациональным.

1. Пусть $$\sqrt{5}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ и дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$5=\frac{p^2}{q^2},$$

   откуда

   $$p^2=5q^2.$$

   Значит, $$p^2$$ делится на $$5$$, следовательно, $$p$$ делится на $$5$$: $$p=5k.$$ Подставим:

   $$25k^2=5q^2,$$

   $$q^2=5k^2.$$

   Тогда $$q^2$$ делится на $$5$$, значит, $$q$$ тоже делится на $$5$$. Получаем противоречие с тем, что дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. Следовательно, $$\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}.$$

2. Пусть $$2\sqrt{7}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ и дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$\sqrt{7}=\frac{p}{2q}.$$

   Следовательно, $$\sqrt{7}$$ рационально, что противоречит пункту а). Значит, $$2\sqrt{7}\notin \mathbb{Q}.$$

3. Если бы $$\sqrt{5}+1$$ было рациональным, то разность

   $$\left(\sqrt{5}+1\right)-1=\sqrt{5}$$

   тоже была бы рациональной, что невозможно по пункту а). Значит, $$\sqrt{5}+1\notin \mathbb{Q}.$$

4. Пусть $$\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{p}{q},$$ где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},$$ и дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$\sqrt{7}=\frac{3p}{q},$$

   то есть $$\sqrt{7}$$ рационально, что противоречит пункту б). Следовательно, $$\frac{\sqrt{7}}{3}\notin \mathbb{Q}.$$

Ответ

$$\sqrt{5},\ 2\sqrt{7},\ \sqrt{5}+1,\ \frac{\sqrt{7}}{3}$$ — иррациональные числа.