Упр.14 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin \frac{7\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$$

Тогда

$$\sin \frac{7\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}=2\sin \frac{\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2}\cos \frac{\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2}=2\sin \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{3}$$

$$=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac12=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Равенство верно.

б) $$\cos \frac{11\pi}{24}-\cos \frac{\pi}{8}$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

Тогда

$$\cos \frac{11\pi}{24}-\cos \frac{\pi}{8}=-2\sin \frac{\frac{11\pi}{24}+\frac{\pi}{8}}{2}\sin \frac{\frac{11\pi}{24}-\frac{\pi}{8}}{2}$$

$$=-2\sin \frac{\pi}{3}\sin \frac{7\pi}{24}=-\sin \frac{7\pi}{24}.$$

Равенство верно.

в) $$\sin \frac{11\pi}{18}+\sin \frac{7\pi}{18}$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

Тогда

$$\sin \frac{11\pi}{18}+\sin \frac{7\pi}{18}=2\sin \frac{\frac{11\pi}{18}+\frac{7\pi}{18}}{2}\cos \frac{\frac{11\pi}{18}-\frac{7\pi}{18}}{2}$$

$$=2\sin \frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{9}=2\cos \frac{\pi}{9}.$$

Так как $$2\cos \frac{\pi}{9}\ne \cos \frac{2\pi}{9},$$ равенство неверно.

г) $$\cos \frac{5\pi}{8}+\cos \frac{\pi}{8}$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

Тогда

$$\cos \frac{5\pi}{8}+\cos \frac{\pi}{8}=2\cos \frac{\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi}{8}}{2}\cos \frac{\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}}{2}$$

$$=2\cos \frac{3\pi}{8}\cos \frac{\pi}{4}=2\cos \frac{3\pi}{8}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos \frac{3\pi}{8}.$$

Равенство верно.

Ответ

а) верно; б) верно; в) неверно; г) верно.