Упр.139 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено несколько одинаковых книг и одинаковых значков. За книги заплатили 1056 р., за значки — 56 р. Книг купили на 6 штук больше, чем значков. Сколько было куплено книг? (Цены и книги, и значка в рублях — целые числа.)

Обозначим:

$$x$$ — число купленных книг,

$$y$$ — число купленных значков,

$$a$$ — цена одной книги,

$$b$$ — цена одного значка.

Тогда по условию

$$x=y+6.$$

Составим уравнения по стоимости покупок:

$$ax=1056,$$

$$by=56.$$

Так как цены целые, то $$x$$ должно быть делителем числа $$1056$$, а $$y=x-6$$ — делителем числа $$56$$.

Проверим делители числа $$56$$:

$$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 14,\ 28,\ 56.$$

Тогда возможные значения $$x=y+6$$:

$$7,\ 8,\ 10,\ 13,\ 14,\ 20,\ 34,\ 62.$$

Из них только при $$x=8$$ число $$1056$$ делится на $$8$$:

$$1056:8=132.$$

Значит, книг купили $$8$$, а значков $$2$$.

Ответ: 8 книг.