Упр.138 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 138. Три пункта А, В и С соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, равной 1/2АВ, к отрезку дороги ВС примыкает квадратное поле со стороной, равной ВС, а к отрезку дороги АС примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной АС, и шириной 4 км. Площадь леса на 20 км^2 больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

Обозначим:

$$AB=2x,\quad BC=y,\quad AC=z.$$

Тогда по неравенству треугольника имеем:

$$2x+y\ge z,\quad 2x+z\ge y,\quad y+z\ge 2x.$$

По условию задачи площадь леса равна площади прямоугольника со сторонами $$z$$ и $$4$$, то есть

$$S_{\text{леса}}=4z.$$

Площади квадратных полей равны:

$$\left(\frac{AB}{2}\right)^2=x^2,\qquad BC^2=y^2.$$

По условию площадь леса на $$20\text{ км}^2$$ больше суммы площадей квадратных полей:

$$4z=x^2+y^2+20,$$

откуда

$$z=\frac{x^2+y^2}{4}+5.$$

Подставим это в первое неравенство треугольника:

$$2x+y\ge \frac{x^2+y^2}{4}+5.$$

Умножим на $$4$$:

$$8x+4y\ge x^2+y^2+20.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-8x+y^2-4y+20\le 0,$$

$$\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2\le 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, то возможно только

$$x=4,\quad y=2.$$

Тогда

$$z=\frac{4^2+2^2}{4}+5=\frac{16+4}{4}+5=10.$$

Следовательно, площадь леса:

$$S=4z=4\cdot 10=40\text{ км}^2.$$

Ответ

$$40\text{ км}^2$$