Упр.138 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0;
б) 9x^2-2x+k=6-kx;
в) (2k-5)x^2-2(k-1)x+3=0;
г) 3kx^2-6x+k-2=0.

Подробный ответ

Уравнение имеет один корень, если:

либо это квадратное уравнение и его дискриминант равен нулю;
либо старший коэффициент равен нулю, и уравнение становится линейным с одним корнем.

а) $$ (k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0 $$

Если $$k-1\ne 0$$, то для одного корня нужно $$D=0$$:

$$ D=(k+4)^2-4(k-1)(k+7)=0 $$
$$ k^2+8k+16-4(k^2+6k-7)=0 $$
$$ k^2+8k+16-4k^2-24k+28=0 $$
$$ 3k^2+16k-44=0 $$
$$ D_1=16^2+4\cdot 3\cdot 44=784 $$
$$ k=\frac{-16\pm 28}{2\cdot 3} $$
$$ k_1=-\frac{22}{3},\quad k_2=2 $$

При $$k=1$$ уравнение становится линейным: $$5x+8=0$$, значит, тоже имеет один корень.

б) $$9x^2-2x+k=6-kx$$

$$ 9x^2+(k-2)x+(k-6)=0 $$
$$ D=(k-2)^2-4\cdot 9\cdot (k-6)=0 $$
$$ k^2-4k+4-36k+216=0 $$
$$ k^2-40k+220=0 $$
$$ D_1=40^2-4\cdot 220=720 $$
$$ k=\frac{40\pm \sqrt{720}}{2}=\frac{40\pm 12\sqrt5}{2}=20\pm 6\sqrt5 $$

в) $$ (2k-5)x^2-2(k-1)x+3=0 $$

Если $$2k-5\ne 0$$, то нужно $$D=0$$:

$$ D=[-2(k-1)]^2-4(2k-5)\cdot 3=0 $$
$$ 4(k-1)^2-12(2k-5)=0 $$
$$ 4k^2-8k+4-24k+60=0 $$
$$ 4k^2-32k+64=0 $$
$$ k^2-8k+16=0 $$
$$ (k-4)^2=0 $$
$$ k=4 $$

При $$k=\frac52$$ старший коэффициент равен нулю, и уравнение становится линейным:

$$ -2\left(\frac52-1\right)x+3=0 $$
$$ -3x+3=0 $$

Значит, $$x=1$$ — один корень.

г) $$3kx^2-6x+k-2=0$$

Если $$k\ne 0$$, то нужно $$D=0$$:

$$ D=(-6)^2-4\cdot 3k(k-2)=0 $$
$$ 36-12k(k-2)=0 $$
$$ 36-12k^2+24k=0 $$
$$ k^2-2k-3=0 $$
$$ (k-3)(k+1)=0 $$
$$ k=3 \text{ или } k=-1 $$

При $$k=0$$ уравнение становится линейным:

$$ -6x-2=0 $$

Значит, $$x=-\frac13$$ — один корень.