Упр.138 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Три пункта $$A$$, $$B$$ и $$C$$ соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги $$AB$$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $$\frac{1}{2}AB$$, к отрезку дороги $$BC$$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $$BC$$, а к отрезку дороги $$AC$$ примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной $$AC$$, и шириной $$4\ \text{км}$$. Площадь леса на $$20\ \text{км}^2$$ больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

Обозначим:

$$AB=2x,\quad BC=y,\quad AC=z.$$

Тогда по неравенству треугольника имеем:

$$2x+y\ge z,\quad 2x+z\ge y,\quad y+z\ge 2x.$$

По условию площадь леса на $$20$$ км$$^2$$ больше суммы площадей квадратных полей. Значит,

$$4z=x^2+y^2+20,$$

откуда

$$z=\frac{x^2+y^2}{4}+5.$$

Подставим это в первое неравенство:

$$2x+y\ge \frac{x^2+y^2}{4}+5,$$

$$8x+4y\ge x^2+y^2+20,$$

$$x^2-8x+y^2-4y+20\le 0,$$

$$\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2\le 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, то возможно только

$$x=4,\quad y=2.$$

Тогда

$$z=\frac{4^2+2^2}{4}+5=\frac{16+4}{4}+5=10.$$

Следовательно, площадь леса равна

$$S=4z=4\cdot 10=40.$$

Ответ: $$40$$ км$$^2$$.