Упр.137 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

• При каком значении $$a$$ имеют общий корень уравнения:
  
  а) $$x^2-ax=0$$ и $$x^2-x-3a=0$$;
  
  б) $$x^2-(a-1)x=3$$ и $$4x^2-(4a+3)x+9=0$$;
  
  в) $$x^2+ax+8=0$$ и $$x^2+x+a=0$$;
  
  г) $$2x^2+(3a-1)x=3$$ и $$6x^2-(2a-3)x=1$$?

а) Если уравнения имеют общий корень, то этот корень должен удовлетворять обоим уравнениям.

Из первого уравнения

$$x^2-ax=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-a)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=a.$$

Проверим эти значения во втором уравнении $$x^2-x-3a=0$$.

1) При $$x=0$$ получаем

$$0-0-3a=0 \quad \Rightarrow \quad a=0.$$

2) При $$x=a$$ получаем

$$a^2-a-3a=0 \quad \Rightarrow \quad a^2-4a=0 \quad \Rightarrow \quad a(a-4)=0.$$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=4.$$

Ответ: $$0; 4.$$

б) Преобразуем первое уравнение:

$$x^2-(a-1)x=3 \quad \Rightarrow \quad x^2-(a-1)x-3=0.$$

Если уравнения имеют общий корень, то подставим его во второе уравнение

$$4x^2-(4a+3)x+9=0.$$

Умножим первое уравнение на $$4$$:

$$4x^2-4(a-1)x-12=0,$$

то есть

$$4x^2-(4a-4)x-12=0.$$

Вычтем из этого второе уравнение:

$$\bigl(4x^2-(4a-4)x-12\bigr)-\bigl(4x^2-(4a+3)x+9\bigr)=0,$$

$$7x-21=0,$$

$$x=3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3^2-(a-1)\cdot 3-3=0,$$

$$9-3a+3-3=0,$$

$$12-3a=0,$$

$$a=3.$$

Ответ: $$3.$$

в) Имеем систему уравнений

$$x^2+ax+8=0,$$

$$x^2+x+a=0.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ax-x+8-a=0,$$

$$x(a-1)=a-8.$$

Если $$a\ne 1$$, то

$$x=\frac{a-8}{a-1}.$$

Подставим это значение в уравнение $$x^2+x+a=0$$:

$$\left(\frac{a-8}{a-1}\right)^2+\frac{a-8}{a-1}+a=0.$$

Умножим на $$\left(a-1\right)^2$$:

$$\left(a-8\right)^2+\left(a-8\right)\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)^2=0.$$

Раскроем скобки:

$$a^2-16a+64+a^2-9a+8+a^3-2a^2+a=0,$$

$$a^3-24a+72=0.$$

Проверка даёт:

$$a^3-24a+72=(a+6)(a^2-6a+12).$$

Так как $$a^2-6a+12>0$$ при любых $$a$$, то

$$a+6=0,$$

$$a=-6.$$

Ответ: $$-6.$$

г) Преобразуем уравнения:

$$2x^2+(3a-1)x=3 \quad \Rightarrow \quad 2x^2+(3a-1)x-3=0,$$

$$6x^2-(2a-3)x=1 \quad \Rightarrow \quad 6x^2-(2a-3)x-1=0.$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$6x^2+3(3a-1)x-9=0,$$

то есть

$$6x^2+(9a-3)x-9=0.$$

Вычтем второе уравнение:

$$\bigl(6x^2+(9a-3)x-9\bigr)-\bigl(6x^2-(2a-3)x-1\bigr)=0,$$

$$11ax-8=0,$$

$$x=\frac{8}{11a}.$$

Подставим это значение в первое уравнение:

$$2\left(\frac{8}{11a}\right)^2+(3a-1)\frac{8}{11a}-3=0.$$

После упрощения получаем

$$99a-34=0,$$

откуда

$$a=\frac{34}{99}.$$

Кроме того, при равенстве коэффициентов при $$x$$ получаем второй возможный случай:

$$3a-1=0 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{1}{3},$$

и тогда уравнения также имеют общий корень.

Ответ: $$\frac{34}{99};\ \frac{1}{3}.$$