Упр.133 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {2x(y/z+z/y)=15, 3y(x/z+z/x)=20, 6z(x/y+y/x)=13};
б) {xy/(x+y)=6/5, xz/(x+z)=3/4, zy/(z+y)=2/3}.

а) Обозначим

$$a=\frac{xy}{z},\quad b=\frac{xz}{y},\quad c=\frac{yz}{x}.$$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} 2a+2b=15,\\ 3a+3c=20,\\ 6b+6c=13. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$a+b=\frac{15}{2}.$$

Из второго:

$$a+c=\frac{20}{3}.$$

Из третьего:

$$b+c=\frac{13}{6}.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$b-c=\frac{15}{2}-\frac{20}{3}=\frac{5}{6}.$$

Решая систему

$$ \begin{cases} b+c=\frac{13}{6},\\ b-c=\frac{5}{6}, \end{cases} $$

получаем

$$b=\frac{3}{2},\quad c=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$a=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6.$$

Теперь из

$$\frac{xy}{z}=6,\quad \frac{xz}{y}=\frac{3}{2},\quad \frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$

найдём переменные. Из третьего равенства:

$$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{3yz}{2}.$$

Подставим в первое:

$$\frac{xy}{z}=6.$$

Из соотношений удобно получить

$$y^2=4,\quad z^2=1,$$

откуда

$$y=\pm 2,\quad z=\pm 1.$$

Тогда из $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$ получаем

$$x=\pm 3.$$

Подходящие наборы:

$$ (3;2;1),\ (3;-2;-1),\ (-3;2;-1),\ (-3;-2;1). $$

б) Обозначим

$$a=\frac{1}{x},\quad b=\frac{1}{y},\quad c=\frac{1}{z}.$$

Тогда

$$ \begin{cases} a+b=\frac{5}{6},\\ a+c=\frac{4}{3},\\ b+c=\frac{3}{2}. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$c-b=\frac{4}{3}-\frac{5}{6}=\frac{1}{2}.$$

Решая систему

$$ \begin{cases} b+c=\frac{3}{2},\\ c-b=\frac{1}{2}, \end{cases} $$

получаем

$$c=1,\quad b=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$a=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$x=3,\quad y=2,\quad z=1.$$

Ответ

а) $$ (3;2;1),\ (3;-2;-1),\ (-3;2;-1),\ (-3;-2;1). $$

б) $$ (3;2;1). $$