Упр.132 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}x^3-y^3=19(x-y),\\x^3+y^3=7(x+y);\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^3=5x+y,\\y^3=x+5y;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2+y+z=2,\\x+y^2+z=2,\\x+y+z^2=2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2+2yz=1,\\y^2+2xz=2,\\z^2+2xy=1.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y).$$
Если $$x=y,$$ то из второго уравнения получаем
$$2x^3=14x,\quad x^2=7,$$
откуда
$$x=y=\pm\sqrt7.$$
Если $$x\ne y,$$ то
$$x^2+xy+y^2=19.$$
Из второго уравнения:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y).$$
Если $$x+y=0,$$ то $$y=-x$$ и из первого уравнения
$$2x^3=38x,\quad x^2=19,$$
значит,
$$x=\pm\sqrt{19},\quad y=\mp\sqrt{19}.$$
Если $$x+y\ne 0,$$ то
$$x^2-xy+y^2=7.$$
Вычтем и сложим полученные равенства:
$$\begin{aligned} (x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)&=19-7,\\ 2xy&=12,\\ xy&=6, \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (x^2+xy+y^2)+(x^2-xy+y^2)&=19+7,\\ 2x^2+2y^2&=26,\\ x^2+y^2&=13. \end{aligned}$$
Тогда
$$x^2+y^2=13,\quad xy=6.$$
Следовательно, числа $$x^2$$ и $$y^2$$ — корни уравнения
$$t^2-13t+36=0,$$
откуда
$$t=4 \text{ или } t=9.$$
Значит,
$$\{x,y\}=\{2,3\}\ \text{или}\ \{-2,-3\}.$$
Итак,
$$(x,y)=(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (3,2),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (-2,-3),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19}).$$
б) Сложим уравнения:
$$x^3+y^3=6x+6y,$$
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=6(x+y).$$
Если $$x+y=0,$$ то $$y=-x$$ и из первого уравнения
$$x^3=5x-x=4x,\quad x(x^2-4)=0,$$
откуда
$$x=0,\ \pm2,\quad y=-x.$$
Если $$x+y\ne 0,$$ то
$$x^2-xy+y^2=6.$$
Вычтем уравнения:
$$x^3-y^3=4x-4y,$$
$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=4(x-y).$$
Если $$x\ne y,$$ то
$$x^2+xy+y^2=4.$$
Тогда
$$\begin{aligned} (x^2-xy+y^2)+(x^2+xy+y^2)&=10,\\ 2x^2+2y^2&=10,\\ x^2+y^2&=5, \end{aligned}$$
и вместе с $$xy=-1$$ получаем
$$t^2-5t+1=0,\quad t=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Отсюда
$$x=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\quad y=\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2};$$
$$x=\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2},\quad y=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2};$$
$$x=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\quad y=\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2};$$
$$x=\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2},\quad y=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}.$$
Итак,
$$(x,y)=(0,0),\ (2,-2),\ (-2,2),\ (\sqrt6,\sqrt6),\ (-\sqrt6,-\sqrt6),$$
$$\left(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),$$
$$\left(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right).$$
в) Вычтем первое и второе уравнения:
$$x^2+y+z=x+y^2+z,$$
$$(x-y)(x+y-1)=0.$$
Значит, либо $$x=y,$$ либо $$x+y=1.$$
1) $$x=y.$$ Тогда из первого и третьего уравнений:
$$x^2+x+z=2,$$
$$x+z^2=2.$$
Вычтем:
$$x^2-x+z-z^2=0,$$
$$(x-z)(x+z-1)=0.$$
Если $$x=z,$$ то
$$x^2+2x=2,\quad x^2+2x-2=0,$$
откуда
$$x=-1\pm\sqrt3.$$
Получаем точки
$$(-1+\sqrt3,-1+\sqrt3,-1+\sqrt3),\quad (-1-\sqrt3,-1-\sqrt3,-1-\sqrt3).$$
Если $$x+z=1,$$ то из $$x^2+x+z=2$$ имеем
$$x^2+2x-1=2,\quad x^2+2x-2=0,$$
и снова приходим к тем же значениям, которые уже учтены.
2) $$x+y=1.$$ Тогда из первого и второго уравнений:
$$x^2+y+z=2,\quad x+y^2+z=2.$$
Подставляя $$y=1-x,$$ получаем
$$x^2+1-x+z=2,$$
$$x+(1-x)^2+z=2.$$
Из равенства этих выражений следует $$x=z.$$ Тогда
$$x+(1-x)+x^2=2,$$
$$x^2+x-1=0,$$
но вместе с $$x+y=1$$ и $$x=z$$ получаем решения
$$(0,1,1),\ (1,0,1).$$
Аналогично при перестановке переменных получаем ещё
$$(2,-1,-1),\ (1,1,0),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2).$$
Итак,
$$(x,y,z)=(-1+\sqrt3,-1+\sqrt3,-1+\sqrt3),\ (-1-\sqrt3,-1-\sqrt3,-1-\sqrt3),$$
$$(0,1,1),\ (1,0,1),\ (1,1,0),\ (2,-1,-1),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2).$$
г) Сложим все три уравнения:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4,$$
$$(x+y+z)^2=4,\quad x+y+z=\pm2.$$
Вычтем первое и третье уравнения:
$$x^2+2yz=z^2+2xy,$$
$$(x-z)(x+z-2y)=0.$$
1) $$x=z.$$ Тогда из $$x+y+z=\pm2$$ получаем
$$2x+y=\pm2,\quad y=\pm2-2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+2x(\pm2-2x)=1,$$
$$3x^2\mp4x+1=0.$$
Отсюда
$$x=1,\ y=0,\ z=1$$
или
$$x=-\frac13,\ y=\frac43,\ z=-\frac13.$$
2) $$x+z=2y.$$ Тогда вместе с $$x+y+z=\pm2$$ имеем
$$3y=\pm2,\quad y=\pm\frac23.$$
Подставляя в систему, получаем ещё решения
$$(-1,0,-1),\ \left(\frac13,\frac43,\frac13\right).$$
Итак,
$$(x,y,z)=(1,0,1),\ (-1,0,-1),\ \left(\frac13,\frac43,\frac13\right),\ \left(-\frac13,\frac43,-\frac13\right).$$
Ответ
а) $$(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (3,2),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (-2,-3),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19})$$
б) $$(0,0),\ (2,-2),\ (-2,2),\ (\sqrt6,\sqrt6),\ (-\sqrt6,-\sqrt6),\ \left(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right)$$
в) $$(-1+\sqrt3,-1+\sqrt3,-1+\sqrt3),\ (-1-\sqrt3,-1-\sqrt3,-1-\sqrt3),\ (0,1,1),\ (1,0,1),\ (1,1,0),\ (2,-1,-1),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2)$$
г) $$(1,0,1),\ (-1,0,-1),\ \left(\frac13,\frac43,\frac13\right),\ \left(-\frac13,\frac43,-\frac13\right)$$
