Упр.131 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x^2-y^2=3, x^2+xy+y^2=7};
б) {(x^2+y^2)x/y=6, (x^2-y^2)y=x}.

а) Обозначим

$$ \begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^2+xy+y^2=7. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе — на $$3$$:

$$ \begin{cases} 7x^2-7y^2=21,\\ 3x^2+3xy+3y^2=21. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 4x^2-3xy-10y^2=0. $$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$ 4x^2-3yx-10y^2=0. $$

Тогда

$$ D=(3y)^2+4\cdot 4\cdot 10y^2=9y^2+160y^2=169y^2. $$

$$ x_{1,2}=\frac{3y\pm 13y}{8}. $$

Получаем два случая:

$$ x_1=-\frac{5y}{4}, \qquad x_2=2y. $$

1) Если $$x=-\frac{5y}{4}$$, то из первого уравнения:

$$ \frac{25y^2}{16}-y^2=3, $$

$$ \frac{9y^2}{16}=3,\qquad y^2=\frac{16}{3}. $$

$$ y=\pm \frac{4}{\sqrt{3}}, \qquad x=-\frac{5}{4}\cdot \left(\pm \frac{4}{\sqrt{3}}\right)=\mp \frac{5}{\sqrt{3}}. $$

Отсюда:

$$ \left(-\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right),\qquad \left(\frac{5}{\sqrt{3}},-\frac{4}{\sqrt{3}}\right). $$

2) Если $$x=2y$$, то из первого уравнения:

$$ 4y^2-y^2=3, $$

$$ 3y^2=3,\qquad y^2=1. $$

$$ y=\pm 1,\qquad x=2(\pm 1)=\pm 2. $$

Отсюда:

$$ (-2,-1),\qquad (2,1). $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \dfrac{(x^2+y^2)x}{y}=6,\\ (x^2-y^2)y=x. \end{cases} $$

Так как в первом уравнении есть деление на $$y$$, то $$y\neq 0$$. Из второго уравнения:

$$ x=(x^2-y^2)y. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ \frac{(x^2+y^2)x}{y}=6 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x^2+y^2}{y}\cdot x=6. $$

Умножим первое уравнение на $$y$$, а второе — на $$x$$:

$$ (x^2+y^2)x=6y, $$
$$ (x^2-y^2)xy=x^2. $$

Удобнее исключить $$x$$ и получить уравнение относительно $$y$$. Из второго уравнения:

$$ x=(x^2-y^2)y. $$

Подставим в первое:

$$ (x^2+y^2)(x^2-y^2)=6. $$

Тогда

$$ x^4-y^4=6. $$

Из второго уравнения выразим $$x^2$$ через $$y$$. Возведём его в квадрат:

$$ x^2=(x^2-y^2)^2y^2. $$

После преобразований получаем квадратное уравнение относительно $$x^2$$:

$$ x^4-5x^2y^2+6y^4=0. $$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$ t^2-5y^2t+6y^4=0. $$

$$ D=(5y^2)^2-4\cdot 6y^4=25y^4-24y^4=y^4. $$

$$ t_{1,2}=\frac{5y^2\pm y^2}{2}. $$

Следовательно,

$$ x^2=2y^2 \quad \text{или} \quad x^2=3y^2. $$

1) Если $$x^2=2y^2$$, то из второго уравнения:

$$ (2y^2-y^2)y=x, $$

$$ y^3=x. $$

Тогда

$$ x^2=y^6=2y^2, $$

$$ y^4=2,\qquad y=\pm \sqrt[4]{2}. $$

$$ x=y^3=\pm \sqrt[4]{8}. $$

Получаем:

$$ \left(-\sqrt[4]{8},-\sqrt[4]{2}\right),\qquad \left(\sqrt[4]{8},\sqrt[4]{2}\right). $$

2) Если $$x^2=3y^2$$, то из второго уравнения:

$$ (3y^2-y^2)y=x, $$

$$ 2y^3=x. $$

Тогда

$$ x^2=4y^6=3y^2, $$

$$ 4y^4=3,\qquad y=\pm \sqrt[4]{\frac{3}{4}}. $$

$$ x=2y^3=\pm \sqrt[4]{\frac{27}{4}}. $$

Получаем:

$$ \left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}},-\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right),\qquad \left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}},\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right). $$

Ответ

а) $$\left(-\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt{3}},-\frac{4}{\sqrt{3}}\right),\ (-2,-1),\ (2,1).$$

б) $$\left(-\sqrt[4]{8},-\sqrt[4]{2}\right),\ \left(\sqrt[4]{8},\sqrt[4]{2}\right),\ \left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}},-\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right),\ \left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}},\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right).$$