Упр.131 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем значения обратных тригонометрических функций:

• $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}$$
• $$\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}$$
• $$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$$
• $$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$$
• $$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{3\pi}{4}$$
• $$\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}$$
• $$\operatorname{arctg}(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}$$
• $$\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}$$
• $$\arcsin 1=\frac{\pi}{2}$$
• $$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$
• $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}$$
• $$\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\pi}{6}$$

Решение

а)

$$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\operatorname{arcctg}(-1)+\arccos\frac{\sqrt2}{2}$$

$$=2\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{3}+\pi=\frac{\pi}{3}.$$

б)

$$3\arcsin\frac12+4\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)$$

$$=3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+3\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{8\pi}{3}.$$

в)

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt3)+\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin 1$$

$$=-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

г)

$$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac12+3\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)$$

$$=-\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$\frac{8\pi}{3}$$; в) $$\pi$$; г) $$-\frac{3\pi}{2}$$.