Упр.130 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x^2-2xy-3y^2=0, x^2-2x+y^2=6};
б) {x+y=z, y^2+z^2=13x^2, 2(x^2+z^2)=zy^2}.

а) Из первого уравнения получаем квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2-2xy-3y^2=0$$

$$D=(2y)^2+4\cdot 3y^2=16y^2$$

$$x_{1,2}=\frac{2y\pm 4y}{2}$$

Следовательно,

$$x_1=-y,\qquad x_2=3y.$$

1) Пусть $$x=-y.$$ Тогда из второго уравнения:

$$(-y)^2-2(-y)+y^2=6$$

$$2y^2+2y-6=0$$

$$y^2+y-3=0$$

$$D=1+12=13$$

$$y=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

Тогда

$$x=-y=\frac{1\mp \sqrt{13}}{2}.$$

Получаем пары:

$$\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right),\qquad \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right).$$

2) Пусть $$x=3y.$$ Тогда из второго уравнения:

$$9y^2-6y+y^2=6$$

$$10y^2-6y-6=0$$

$$5y^2-3y-3=0$$

$$D=9+60=69$$

$$y=\frac{3\pm \sqrt{69}}{10}.$$

Тогда

$$x=3y=\frac{3(3\pm \sqrt{69})}{10}.$$

Получаем пары:

$$\left(\frac{3(3-\sqrt{69})}{10},\frac{3-\sqrt{69}}{10}\right),\qquad \left(\frac{3(3+\sqrt{69})}{10},\frac{3+\sqrt{69}}{10}\right).$$

б) Из первого уравнения

$$z=x+y.$$

Подставим во второе:

$$y^2+(x+y)^2=13x^2$$

$$y^2+x^2+2xy+y^2=13x^2$$

$$2y^2+2xy-12x^2=0$$

$$y^2+xy-6x^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $y$:

$$D=x^2+24x^2=25x^2$$

$$y_{1,2}=\frac{-x\pm 5x}{2}.$$

Значит,

$$y_1=-3x,\qquad y_2=2x.$$

Тогда из $z=x+y$ получаем:

при $y=-3x$ имеем $$z=-2x,$$

при $y=2x$ имеем $$z=3x.$$

1) Пусть $$y=-3x,\ z=-2x.$$ Подставим в третье уравнение:

$$2(x^2+z^2)=zy^2$$

$$2(x^2+4x^2)=(-2x)\cdot 9x^2$$

$$10x^2=-18x^3$$

$$x^2(10+18x)=0.$$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac{5}{9}.$$

Тогда получаем решения:

$$ (0,0,0), \qquad \left(-\frac{5}{9},\frac{5}{3},\frac{10}{9}\right). $$

2) Пусть $$y=2x,\ z=3x.$$ Подставим в третье уравнение:

$$2(x^2+z^2)=zy^2$$

$$2(x^2+9x^2)=3x\cdot 4x^2$$

$$20x^2=12x^3$$

$$x^2(20-12x)=0.$$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{5}{3}.$$

Тогда получаем решения:

$$ (0,0,0), \qquad \left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},5\right). $$

Ответ

а) $$\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{3(3-\sqrt{69})}{10},\frac{3-\sqrt{69}}{10}\right),\ \left(\frac{3(3+\sqrt{69})}{10},\frac{3+\sqrt{69}}{10}\right).$$

б) $$(0,0,0),\ \left(-\frac{5}{9},\frac{5}{3},\frac{10}{9}\right),\ \left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},5\right).$$