Упр.130 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}x^2-2xy-3y^2=0,\\x^2-2x+y^2=6;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+y=z,\\y^2+z^2=13x^2,\\2(x^2+z^2)=zy^2.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2-2xy-3y^2=0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-2xy-3y^2=(x-3y)(x+y)=0.$$
Значит, возможны два случая.
$$x=-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-2x+y^2=6,$$
$$y^2+2y+y^2=6,$$
$$2y^2+2y-6=0,$$
$$y^2+y-3=0.$$
Тогда
$$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}, \qquad x=-y=\frac{1\mp\sqrt{13}}{2}.$$
$$x=3y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-2x+y^2=6,$$
$$9y^2-6y+y^2=6,$$
$$10y^2-6y-6=0,$$
$$5y^2-3y-3=0.$$
Тогда
$$y=\frac{3\pm\sqrt{69}}{10}, \qquad x=3y=\frac{3(3\pm\sqrt{69})}{10}.$$
б) Из первого уравнения
$$z=x+y.$$
Подставим это во второе уравнение:
$$y^2+z^2=13x^2,$$
$$y^2+(x+y)^2=13x^2,$$
$$2y^2+2xy-12x^2=0,$$
$$y^2+xy-6x^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$D=x^2+24x^2=25x^2,$$
$$y=\frac{-x\pm5x}{2}.$$
Отсюда:
$$y_1=-3x,\qquad y_2=2x.$$
Тогда из $$z=x+y$$ получаем:
$$z_1=-2x,\qquad z_2=3x.$$
Если $$y=-3x$$, $$z=-2x$$, то подставим в третье уравнение:
$$2(x^2+z^2)=zy^2,$$
$$2(x^2+4x^2)=-2x\cdot 9x^2,$$
$$10x^2=-18x^3,$$
$$x=-\frac{5}{9}.$$
Тогда
$$y=\frac{5}{3}, \qquad z=\frac{10}{9}.$$
Если $$y=2x$$, $$z=3x$$, то подставим в третье уравнение:
$$2(x^2+z^2)=zy^2,$$
$$2(x^2+9x^2)=3x\cdot4x^2,$$
$$20x^2=12x^3,$$
$$x=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$y=\frac{10}{3}, \qquad z=5.$$
Кроме того, при $$x=0$$ из уравнения $$y^2+xy-6x^2=0$$ получаем $$y=0$$, а значит $$z=0$$.
Ответ
а) $$\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};-\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{3(3-\sqrt{69})}{10};\frac{3-\sqrt{69}}{10}\right),\ \left(\frac{3(3+\sqrt{69})}{10};\frac{3+\sqrt{69}}{10}\right).$$
б) $$(0;0;0),\ \left(-\frac{5}{9};\frac{5}{3};\frac{10}{9}\right),\ \left(\frac{5}{3};\frac{10}{3};5\right).$$
