Упр.13 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79.
3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) y=1+0,5cos(x); б) y=-3/(x-1);
в) y=2x^2+4x; г) y=1,5sin(x)-1.

1) Функция $$f(x)$$ возрастает на множестве $$P$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого множества, таких что $$x_2 > x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2) > f(x_1)$$.

Функция $$f(x)$$ убывает на множестве $$P$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого множества, таких что $$x_2 > x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2) < f(x_1)$$.

2) По графику на рисунке 79:

а) функция возрастает на $$[-1; 3] \cup [6; 7]$$, убывает на $$[-5; -1] \cup [3; 6] \cup [7; 8]$$;

б) функция возрастает на $$[-7; -4] \cup [1; 4]$$, убывает на $$[-4; 1] \cup [4; 7]$$.

3) Найдём промежутки монотонности.

а) $$y=1+0{,}5\cos x$$.

Так как $$\cos x$$ возрастает на $$[-\pi+2\pi n; 2\pi n]$$ и убывает на $$[2\pi n; \pi+2\pi n]$$, то и функция $$y=1+0{,}5\cos x$$ имеет те же промежутки монотонности:

возрастает на $$[-\pi+2\pi n; 2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n; \pi+2\pi n]$$, $$n \in \mathbb{Z}$$.

б) $$y=-\dfrac{3}{x-1}$$, $$x \ne 1$$.

Производная:

$$y’=\dfrac{3}{(x-1)^2} > 0$$ при $$x \ne 1$$.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$$.

в) $$y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2$$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу $$x=-1$$. Поэтому функция убывает на $$(-\infty; -1]$$ и возрастает на $$[-1; +\infty)$$.

г) $$y=1{,}5\sin x-1$$.

Так как $$\sin x$$ возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, то и функция $$y=1{,}5\sin x-1$$ имеет те же промежутки монотонности:

возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n \in \mathbb{Z}$$.

Ответ

1) $$f(x)$$ возрастает на $$P$$, если из $$x_2 > x_1$$ следует $$f(x_2) > f(x_1)$$; убывает на $$P$$, если из $$x_2 > x_1$$ следует $$f(x_2) < f(x_1)$$.

2) а) возрастает на $$[-1; 3] \cup [6; 7]$$, убывает на $$[-5; -1] \cup [3; 6] \cup [7; 8]$$; б) возрастает на $$[-7; -4] \cup [1; 4]$$, убывает на $$[-4; 1] \cup [4; 7]$$.

3) а) возрастает на $$[-\pi+2\pi n; 2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n; \pi+2\pi n]$$; б) возрастает на $$(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty; -1]$$, возрастает на $$[-1; +\infty)$$; г) возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n; \dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n \in \mathbb{Z}$$.