Упр.129 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x-y+xy=17, x^2+y^2=34};
б) {(x^2+1)(y^2+1)=10, (x-y)(xy+1)=-3}.

а) Обозначим $$a=x-y,\quad b=xy.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$a+b=17.$$

Кроме того,

$$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=a^2+2b=34.$$

Подставим $$b=17-a$$:

$$a^2+2(17-a)=34,$$

$$a^2-2a=0,$$

$$a(a-2)=0.$$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=2$$.

1) Если $$a=0,$$ то $$x-y=0,$$ значит $$x=y.$$ Тогда $$xy=17,$$ следовательно,

$$x^2=17,\quad x=\pm\sqrt{17},\quad y=\pm\sqrt{17}.$$

Получаем пары $$(-\sqrt{17};-\sqrt{17})$$ и $$(\sqrt{17};\sqrt{17}).$$

2) Если $$a=2,$$ то $$x-y=2,$$ значит $$y=x-2.$$ Тогда

$$xy=15,$$

$$x(x-2)=15,$$

$$x^2-2x-15=0,$$

$$D=4+60=64.$$

Тогда

$$x=\frac{2\pm 8}{2},$$

откуда $$x=5$$ или $$x=-3.$$

Если $$x=5,$$ то $$y=3.$$ Если $$x=-3,$$ то $$y=-5.$$

Итак, для пункта а) получаем решения:

$$( -\sqrt{17};-\sqrt{17}),\ (\sqrt{17};\sqrt{17}),\ (5;3),\ (-3;-5).$$

б) Обозначим $$a=x-y,\quad b=xy+1.$$ Тогда

$$ (x^2+1)(y^2+1)=x^2y^2+x^2+y^2+1=(xy+1)^2+(x-y)^2=b^2+a^2=10.$$

По условию

$$ab=-3.$$

Из $$ab=-3$$ имеем $$b=-\frac{3}{a}$$ (при $$a\neq 0$$). Подставим в уравнение $$a^2+b^2=10$$:

$$a^2+\frac{9}{a^2}=10,$$

$$a^4-10a^2+9=0.$$

Положим $$t=a^2.$$ Тогда

$$t^2-10t+9=0,$$

$$D=100-36=64,$$

$$t=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Следовательно,

$$a^2=1 \quad \text{или} \quad a^2=9,$$

то есть

$$a=\pm 1 \quad \text{или} \quad a=\pm 3.$$

Теперь находим $$b=\dfrac{-3}{a}$$ и решаем по каждому случаю.

1) $$a=-1,\ b=3.$$ Тогда

$$x-y=-1,\quad xy+1=3,$$

$$y=x+1,\quad xy=2,$$

$$x(x+1)=2,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$x=-2 \text{ или } x=1.$$

Получаем пары $$(-2;-1)$$ и $$(1;2).$$

2) $$a=1,\ b=-3.$$ Тогда

$$x-y=1,\quad xy+1=-3,$$

$$y=x-1,\quad xy=-4,$$

$$x(x-1)=-4,$$

$$x^2-x+4=0.$$

Действительных решений нет.

3) $$a=3,\ b=-1.$$ Тогда

$$x-y=3,\quad xy+1=-1,$$

$$y=x-3,\quad xy=-2,$$

$$x(x-3)=-2,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=2.$$

Получаем пары $$(1;-2)$$ и $$(2;-1).$$

4) $$a=-3,\ b=1.$$ Тогда

$$x-y=-3,\quad xy+1=1,$$

$$y=x+3,\quad xy=0,$$

$$x(x+3)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=-3.$$

Получаем пары $$(0;3)$$ и $$(-3;0).$$

Ответ

а) $$(-\sqrt{17};-\sqrt{17}),\ (\sqrt{17};\sqrt{17}),\ (5;3),\ (-3;-5).$$

б) $$(2;-1),\ (1;2),\ (-2;-1),\ (1;-2),\ (0;3),\ (-3;0).$$