Упр.129 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) функция f(x)=(1/3)^(x+1) убывает на множестве R;
б) функция f(x)=log(2; 3x) возрастает на промежутке (0; ?).

а) Найдём производную функции $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}.$$

Имеем

$$f'(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}\ln\frac13.$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ то $$\ln\frac13<0,$$ а $$\left(\frac13\right)^{x+1}>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Следовательно,

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Значит, функция убывает на множестве $$\mathbb{R}.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\log_2(3x).$$ Её область определения: $$3x>0,$$ то есть $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x\ln 2}=\frac{1}{x\ln 2}.$$

При $$x>0$$ и $$\ln 2>0$$ получаем

$$f'(x)>0.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$
б) $$f(x)=\log_2(3x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$