Упр.128 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение аргумента $$x_0$$, если:
   а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x+1}}-\sqrt{1-x^2},\quad f(x_0)=0$$;
   б) $$f(x)=\lg(x+15)+\lg(x),\quad f(x_0)=2$$.

а) $$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}-\sqrt{1-x^2}=0.$$

Перенесём один из корней:

$$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}=\sqrt{1-x^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{1}{4x+1}=1-x^2.$$

Тогда

$$1=(1-x^2)(4x+1).$$

Раскроем скобки:

$$1=4x+1-4x^3-x^2,$$

$$4x^3+x^2-4x=0,$$

$$x(4x^2+x-4)=0.$$

Отсюда

$$x=0$$

или

$$4x^2+x-4=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1+64=65,$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{8}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$4x+1>0,\quad 1-x^2\ge 0.$$

Подходит только

$$x=\frac{\sqrt{65}-1}{8}.$$

Значение $$x=0$$ также удовлетворяет исходному уравнению.

б) $$\lg(x+15)+\lg x=2.$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\bigl(x(x+15)\bigr)=2.$$

Тогда

$$x(x+15)=10^2=100,$$

$$x^2+15x-100=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2+4\cdot 100=625,$$

$$x=\frac{-15\pm 25}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-20,\quad x_2=5.$$

С учётом области допустимых значений $$x>0$$ и $$x+15>0$$ подходит только

$$x=5.$$

Ответ

а) $$0,\ \frac{\sqrt{65}-1}{8}$$; б) $$5$$.