Упр.128 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases} x+y=3, \\ x^4+y^4=17; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x+y+xy=0, \\ x^3+y^3+x^3y^3=12. \end{cases}$$

Обозначим $$t=xy.$$ Тогда

$$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2,$$
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.$$

а)

$$\begin{aligned} x+y&=3,\\ x^4+y^4&=17. \end{aligned}$$

Тогда

$$17=\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)^2-2(xy)^2.$$

Подставим $$x+y=3$$ и $$t=xy$$:

$$17=(9-2t)^2-2t^2=81-36t+4t^2-2t^2.$$

$$2t^2-36t+64=0,$$
$$t^2-18t+32=0.$$

$$D=18^2-4\cdot 32=196,$$
$$t_{1,2}=\frac{18\pm 14}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=2,\qquad t_2=16.$$

Если $$xy=2$$, то

$$x(3-x)=2,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0.$$

Отсюда $$x=1,\ y=2$$ или $$x=2,\ y=1$$.

Если $$xy=16$$, то

$$x(3-x)=16,$$
$$x^2-3x+16=0.$$

$$D=9-64=-55<0,$$

действительных решений нет.

б)

$$\begin{aligned} x+y+xy&=0,\\ x^3+y^3+x^3y^3&=12. \end{aligned}$$

Положим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из первого уравнения

$$a+b=0,\qquad b=-a.$$

Второе уравнение преобразуем так:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)=a(a^2-3b).$$

Тогда

$$a(a^2-3b)+b^3=12.$$

Подставим $$b=-a$$:

$$a(a^2+3a)-a^3=12,$$
$$3a^2=12,$$
$$a^2=4.$$

Значит, $$a=\pm 2$$.

1) Если $$a=-2$$, то $$x+y=-2$$ и $$xy=2$$. Тогда

$$x(-x-2)=2,$$
$$x^2+2x+2=0,$$
$$D=4-8=-4<0.$$

Действительных решений нет.

2) Если $$a=2$$, то $$x+y=2$$ и $$xy=-2$$. Тогда

$$x(2-x)=-2,$$
$$x^2-2x-2=0,$$
$$D=4+8=12.$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}.$$

Тогда

$$y=2-x=1\mp\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$(1;2),\ (2;1)$$;
б) $$(1+\sqrt{3};\,1-\sqrt{3}),\ (1-\sqrt{3};\,1+\sqrt{3})$$.