Упр.127 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases}x+y-z=2,\\2x-y+4z=1,\\-x+6y-z=5;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x+y+z=-2,\\x-y+2z=-7,\\2x+3y-z=1.\end{cases}$$

а) Сложим первое и второе уравнения:

$$(x+y-z)+(2x-y+4z)=2+1$$

$$3x+3z=3,\qquad x+z=1,\qquad z=1-x$$

Из первого уравнения:

$$x+y-z=2$$

$$x+y-(1-x)=2,\qquad y=3-2x$$

Подставим найденные выражения в третье уравнение:

$$-x+6y-z=5$$

$$-x+6(3-2x)-(1-x)=5$$

$$-x+18-12x-1+x=5$$

$$17-12x=5,\qquad 12x=12,\qquad x=1$$

Тогда

$$y=3-2\cdot 1=1,\qquad z=1-1=0$$

Ответ: $$(1;\,1;\,0).$$

б) Вычтем второе уравнение из первого:

$$(x+y+z)-(x-y+2z)=-2-(-7)$$

$$2y-z=5,\qquad z=2y-5$$

Из первого уравнения:

$$x+y+z=-2$$

$$x+y+(2y-5)=-2,\qquad x=3-3y$$

Подставим в третье уравнение:

$$2x+3y-z=1$$

$$2(3-3y)+3y-(2y-5)=1$$

$$6-6y+3y-2y+5=1$$

$$11-5y=1,\qquad 5y=10,\qquad y=2$$

Тогда

$$x=3-3\cdot 2=-3,\qquad z=2\cdot 2-5=-1$$

Ответ: $$(-3;\,2;\,-1).$$